GCD

题目描述：输出G =∑GCD(i, j) 其中 1 <= i < j <= n。（蓝书P124）

思路：这道题的思路特别巧妙，我看蓝书看了好久才能自己推明白，然后又去看了欧拉函数才能自己写出来。设F(n) = gcd(1,n) + gcd(2,n) + ... + gcd(n - 1, n)。则题中所求可以转化为S(n) =∑F(i) 其中1 < i <= n。右递推式可知S(n) = S(n - 1) + F(n)，那么问题的关键变成了求F(n)， gcd(1,n) + gcd(2,n) + ... + gcd(n - 1, n)这些数值都是n的约束，里面可能定有相同的数字，我们可以设g(n, i) 代表与n的最大公约数为i且小于n的所有x的数量，即对于任意的x，满足gcd(x, n) = i。则F(n) = ∑(g(n, i) * i)，其中i是n的约数。g(n, i) 的充要条件是gcd(x / i, n / i) = 1，而这样的x的数量恰好是欧/拉函数phi(n / i)的定义：小于n / i且与n / i互质的数的数目。这样思路就很明确了，首先打表求出所有的phi值，然后利用phi值求出所有的F值，最终得到所求的Sum值，打表输出。

代码如下：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<queue>#include<cstdlib>#include<sstream>#include<deque>#include<stack>#include<set>#include<map>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;const double eps = 1e-6;const int  maxn =  4000001 + 50;const int mod = 10;const int dx[] = {1, -1, 0, 0, -1, -1, 1, 1};const int dy[] = {0, 0, -1, 1, -1, 1, -1, 1};const int Dis[] = {-1, 1, -5, 5};const double inf = 0x3f3f3f3f;int n, m, k;ll phi[maxn];ll f[maxn];ll sum[maxn];void phi_table(){//打表求出欧拉函数phi的值    memset(phi, 0, sizeof phi);    phi[1] = 1;    for(int i = 2; i < maxn; ++i)if(!phi[i]){        for(int j = i; j < maxn; j += i){            if(!phi[j]) phi[j] = j;            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);        }    }}void init(){    phi_table();    memset(f, 0, sizeof f);    for(int i = 1; i < maxn; ++i){//利用hi求出F值        for(int j = i + i; j <maxn; j += i){            f[j] += i * phi[j / i];        }    }    sum[1] = 0;    for(int i = 2; i < maxn; ++i){//打表求出所有的sum值        sum[i] = sum[i - 1] + f[i];    }}int main(){    init();    while(~scanf("%d", &n) && n){        printf("%lld\n", sum[n]);    }    return 0;}