BZOJ3122 [Sdoi2013]随机数生成器 数论

题意：对于递推式X_{i}=(a*X_{i-1}+b)%p | X_{1}=c 求最小的n满足X_{n}=t 其中a,b,c,t,p为给定非负整数且p为质数,0<=a<=p-1,0<=b<=p-1,2<=p<=10^9

Sol:

把递推式展开得 X_{n}=x1*a^(n-1)+(a^(n-1)+a^(n-2)...a^0)*b

括号里是等比数列，根据求和公式得 X_{n}=x1*a^(n-1)+b*(1-a^(n-1))/(1-a)=a^(n-1)+b*(a^(n-1)-1)/(a-1)=t

左右同乘(a-1) -> 拆括号+合并同类项得a^(n-1)=(t*(a-1)+b)/(x1*(a-1)+b)

模意义下除法，用逆元搞

然后转化成已知a^(n-1)求n，离散对数问题，用BSGS做

最后注意下上边的式子中分母不能是0，特判a=1

此外还要特判t==x1 、a=0 、a=0&&b=1 等情况

Code:

#include<bits/stdc++.h>#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endltypedef long long ll;using namespace std;ll p,a,b,x1,tar;int T;map<ll,int> M;inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}ll PowerMod(ll x,ll y,ll mod){     x%=mod;ll res=1;     while(y)     {             if(y&1) res=(res*x)%mod;             x=(x*x)%mod;y>>=1;     }return res;}int bsgs(ll x,ll y) // x ^ res = y{M.clear();int mr=ceil(sqrt(p));ll num=y,base=PowerMod(x,mr,p);for(int i=0;i<=mr;i++){M[num]=i;num=num*x%p;}num=base;for(int i=1;i<=mr;i++){if(M.count(num)) return i*mr-M[num];num=num*base%p;}return -2;}int main(){T=read();while(T--){p=read();a=read();b=read();x1=read();tar=read();if(tar==x1){puts("1");continue;}if(a==0){printf("%d\n",(tar==b)?2:-1);continue;}if(a==1&&b==0){puts("-1");continue;}if(a==1) printf("%d\n",((tar-x1)*PowerMod(b,p-2,p)%p+p)%p+1);// x1+(n-1)*b=tarelse // (a^(n-1))*x1+b*(a^(n-1)-1)/(a-1)=tar{ll num=(a-1+p)%p,inv=PowerMod((x1*num+b)%p,p-2,p);printf("%d\n",bsgs(a,(tar*num+b)%p*inv%p)+1);}}return 0;}