hdu6053 莫比乌斯函数

hdu6053

题意

给出 AA 数组，问有多少种 BB 数组满足下面条件。

• 1≤Bi≤Ai1≤Bi≤Ai
• For each pair (l,r) (1≤l≤r≤n),gcd(bl,bl+1...br)≥2(l,r) (1≤l≤r≤n),gcd(bl,bl+1...br)≥2 。

分析

首先肯定要去枚举 gcdgcd ，如果暴力去计算，对于每个 gcdgcd ，我们都要乘 nn 次，这样显然会超时。考虑一种将区间分块的思想，如果 gcdgcd 为 1010 ，那么区间 [20,30)[20,30) 里的数除以 1010 都是 22 ，当 gcdgcd 越大时，区间越大。我们直接统计下前缀和，可以查询某个区间里包含的数的个数，快速幂计算答案。
最后求得的 dp[i]dp[i] 表示 gcd=igcd=i 时，构成的 BB 数组的个数，可以用容斥去处理得到最后的答案。

code

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;typedef long long ll;const int MAXN = 1e5 + 10;const int N = 1e5 + 5;const ll MOD = 1e9 + 7;int kase = 1;int T;ll POW(ll x, int n) {    ll res = 1;    while(n) {        if(n & 1) res = res * x % MOD;        x = x * x % MOD;        n >>= 1;    }    return res;}int sum[MAXN];ll dp[MAXN];int main() {    scanf("%d", &T);    while(T--) {        memset(sum, 0, sizeof sum);        memset(dp, 0, sizeof dp);        int n;        scanf("%d", &n);        int mn = N;        for(int i = 0; i < n; i++) {            int x;            scanf("%d", &x);            mn = min(mn, x);            sum[x]++;        }        for(int i = 1; i <= N; i++) {            sum[i] += sum[i - 1];        }        for(int i = 2; i <= mn; i++) {            ll c = 0;            dp[i] = 1;            for(int j = i; j <= N; j += i) {                c++;                int x;                if(j + i - 1 > N) x = sum[N] - sum[j - 1];                else x = sum[j + i - 1] - sum[j - 1];                if(x == 0) continue;                dp[i] = (dp[i] * POW(c, x)) % MOD;            }        }        for(int i = N; i >= 2; i--) {            for(int j = 2 * i; j <= N; j += i) {                dp[i] = (dp[i] - dp[j] + MOD) % MOD;            }        }        ll ans = 0;        for(int i = 0; i <= N; i++) {            ans = (ans + dp[i]) % MOD;        }        printf("Case #%d: %lld\n", kase++, ans);    }    return 0;}