poj 2440 DNA 递推在模下存在循环节

题意和分析：

       题意都是废话，用动态规划列个方程化下简，最后也是这题有意思的地方是求a(n)=a(n-1)+a(n-3)+a(n-4) 在模2005下的值。

       你可能会说，这个简单啊，弄个数组，搞个for循环就行啊，没错，但这是O(n)。能快点么？

       嗯，那用矩阵相乘表示递推，在矩阵乘法结合律的保证下幂运算加速足够快了吧？嗯，是快不少，但这是O(logn),还不够快。

       这题就是这么狠，要O(1)的算法，求a(n)=a(n-1)+a(n-3)+a(n-4) 在模2005下的值。

       如果递推阶数K固定模M固定，那么K阶递推在模M下是存在循环节的，假设循环节为t,a(t+n)=a(n),令n=0得a[t]=a[0],这题的a[0]是1，我们搞个辅助程序从i=K开始求a[i],当a[i]=a[0]=1时，我们的i就是循环节t,那么不管n是啥我们输出a[n%t]就可以了，这题t试出来是200,所以代码：

//poj 2440//sep9#include <iostream>using namespace std;int main(){int a[256]={1,2,4,6},n;for(int i=4;i<200;++i)a[i]=(a[i-1]+a[i-3]+a[i-4])%2005;while(scanf("%d",&n)==1)printf("%d\n",a[n%200]);return 0;}

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    那么，关键的问题来了，你质疑么？为什么 如果递推阶数K固定模M固定，那么K阶递推在模M下是存在循环节的？

    

  因为阶数K固定,任意的a[n]只与a[n-k],[n-k+1]....a[n-1]有关，而因为模M固定，a[n-k],[n-k+1]....a[n-1]总共的状态数固定小于M^K,M^K是个定值，也就是说在最极限情况下，a[n+M^k]=a[n],故存在循环节t使得a[n+t]=a[n],t<M^k。

   这个循环节问题以前遇到这种恶心的题就想不明白，今天不知道为啥突然想清楚了-。-，好像也很简单的样子。