【Leetcode】【python】Unique Binary Search Trees

题目大意

给出一个n，求1-n能够得到的所有二叉搜索树

解题思路

转自博客

这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1 2
\ /
2 1
Count[2] = Count[0] * Count[1] (1为根的情况)
+ Count[1] * Count[0] (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]*Count[2] (1为根的情况)
+ Count[1]*Count[1] (2为根的情况)
+ Count[2]*Count[0] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0…k] * [ k+1….i] 0<=k

代码

其实也就是求卡特兰数的定义实现

class Solution(object):    def numTrees(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        dp = [1, 1, 2]        if n <= 2:            return dp[n]        else:            dp += [0 for i in range(n-2)]            for i in range(3, n + 1):                for j in range(1, i+1):                    dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]            return dp[n]

总结

1. 基于以下原则的BST建树具有唯一性：
   以i为根节点的树，其左子树由[0, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。
2. 动态规划
   动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。
   通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。
3. 卡特兰数
   是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132…