斐波那契数列数列的三种时间复杂度的实现方法

  给定整数N，返回斐波那契数列的第N项

斐波那契数列为1,1,2,3,5,8，......也就是除第1项和第2项为1以外，对于第N项，有F(N)=F(N-1)+F(N-2),于是能够很轻松的写出暴力递归的代码。其时间复杂度为O(2^N).

int Fibonacci1(int n){   if(n<1)return 0;   if(n==1 || n==2) return 1;   return Fibonacci1(n-1)+Fibonacci1(n-2);}int main(){    int result = Fibonacci1(30);    cout<<result<<endl;    return 0;}

斐波那契数列也可以从左到右依次求出每一项的值，那么通过顺序计算求得第N项即可。其时间复杂度为O(N)。

int Fibonacci2(int n){   int tmp=0;   int res=1;   int pre=1;   if(n<1)return 0;   if(n==1 || n==2) return 1;   for(int i=3;i<=n;i++)   {       tmp=res;       res=res+pre;       pre=tmp;   }   return res;}int main(){    int result = Fibonacci2(30);    cout<<result<<endl;    return 0;}

如果递归式严格遵循F(N)=F(N-1)+F(N-2),对于求第N项的值，有矩阵乘法的方式可以将时间复杂度降至O(logN)。F(N)=F(N-1)+F(N-2),是一个二阶递推数列，一定可以用矩阵乘法的形式表示，切状态矩阵为2*2的矩阵：

（F(N),F(N-1)）=(F(N-1),F(N-2))*| {a,b},{c,d}|

把斐波那契数列的前4项带入可得：a=b=c=1;d=0

原公式可简化为：

（F(N),F(N-1)）=(F(N-1),F(N-2))*| {1,1},{1,0}| = （1,1）*| {1,1},{1,0}|^(n-2)

求斐波那契数列第N项的问题就变成了如何用最快的方法求一个矩阵N次方的问题，而求矩阵N次方的问题明显是一个能够在O(logN)时间内解决的问题。为了表示方便，用求一个整数N次方的例子来说明，因为只要理解了如何在O(logN)的时间复杂度内求整数N次方的问题，对于求矩阵N次方的问题是同理的，区别是矩阵乘法和整数乘法在细节上有些不一样，但两者道理相同。

将设一个整数10，如何最快的求10的11次方

1. 11的二进制形式为1011.

2. 10的11次方=10^8 * 10^2 * 10^1。

在这个过程中，我们先求出10^1，然后根据10^1求出10^2，再根据10^2求出10^4，......,最后求出10^8，即11的二进制数形式总共多少位，就使用了几次乘法。

3. 在步骤2进行的过程中，把应该累乘的值相乘即可，比如10^8、10^2、10^1应该累乘，因为8,2,1对应到11的二进制数中，相应位上是1；而10^4不应该累乘，因为4对应到11的二进制数中，相应位上是0。

#include <iostream>#include<stdlib.h>using namespace std; struct matrix{        int m[2][2];    }ans;    matrix mulimatrix(matrix &m1, matrix &m2){        matrix res0;        for(int i=0; i<2; i++){            for(int j=0; j<2; j++){                res0.m[i][j]=0;                for(int k=0; k<2; k++){                    res0.m[i][j] += m1.m[i][k]*m2.m[k][j];                }            }        }        return res0;    }    matrix matrixpower(matrix &mat, int p){        matrix tmp=mat;        matrix res1;        for(int i=0; i<2; i++){            res1.m[i][i]=1;        }        res1.m[0][1]=0;        res1.m[1][0]=0;        for( ; p != 0; p >>= 1){            if((p&1)!=0){                res1 = mulimatrix(res1,tmp);            }            tmp = mulimatrix(tmp,tmp);        }        return res1;    }    int Fibonacci(int n) {        if(n<1)return 0;        if(n==1 || n==2) return 1;        matrix base = {1,1,1,0};        matrix res= matrixpower(base, n-2);        int result= res.m[0][0] + res.m[1][0];        return result;    }int main(){    int result = Fibonacci(30);    cout<<result<<endl;    return 0;}