斐波那契数列的三种解法及时间复杂度
来源:互联网 发布:法律面前人人平等 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 07:18
斐波那契数列:
f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>2) f(0)=1;f(1)=1;
即有名的兔子繁衍问题
在本篇文章我将会给出三种解法
递归
(1)递归:函数自己调用自己(2)递归的"缺陷":递归到一定程度,会发生"栈溢出"(3)递归的"时间复杂度":递归总次数*每次递归的次数(4)递归的"空间复杂度":递归的深度*每次递归空间的大小(注意:"每次递归空间的大小"是个常数,可以基本忽略不计) 递归的"深度":树的高度(递归的过程是一个"二叉树")
1.递归实现斐波那契数列
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>long long Fib(long long N){ if (N < 3) return 1; else return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);}int main(){ long long num = 0; num=Fib(10); printf("递归:%d\n", num); system("pause"); return 0;}
运行结果:
此种方法的缺陷:重复计算的次数太多,效率低 例如:在下图中,F(3)就重复计算了 "3次"时间复杂度:O(2^N)空间复杂度:O(N)
2.递归(尾递归)实现斐波那契数列,但是时间复杂度尽可能低
尾递归是什么呢?
尾递归解决了递归重复计算的问题
"尾递归的前提是递归"(1)定义:在一个程序中,执行的最后一条语句是对自己的调用,而且没有别的运算(2)尾递归的实现:是在编译器优化的条件下实现的 编译器优化: 递归的第一次调用时会开辟一份空间,此后的递归调用不会再开辟空间,而是在刚才开辟的空间上做一些修改,实现此次递归,例如在本题中求Fib(10),编译器会给Fib(10)的调用开辟栈帧,调用Fib(9)的时候不会再重新开辟栈帧,而是在刚开辟的栈帧上做一些修改,因为递归的每一次调用都是一样的流程,只是会有一些数据不同,所以不会再开辟空间。注:vs一般都支持优化,Debug下编译器不会优化哦,一定要在Release模式下。
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>long long Fib(long long first,long long second ,long long N){ if (N < 3) return 1; if (N == 3) return first + second; return Fib(second, first + second, N - 1);}int main(){ long long num = 0; num=Fib(1,1,10); printf("尾递归:%d\n", num); system("pause"); return 0;}
运行结果:
此种方法是尾递归,很大程度的减小了第一种方法(递归实现斐波那契数列)的时间复杂度时间复杂度:O(N-2)约等于0(N)空间复杂度:O(N-2)约等于0(N)(编译器如果优化的话是O(1))此种递归是尾递归
3.循环实现斐波那契数列
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>long long Fib(long long N){ long long first = 1; long long second = 1; long long ret = 0; for (int i = 3; i <=N; ++i) { ret = first + second; first = second; second = ret; } return second;}int main(){ long long num = 0; num=Fib(10); printf("循环:%d\n", num); system("pause"); return 0;}
运行结果:
时间复杂度:O(N)空间复杂度:O(1)(创建了四个对象,是常数,所以可忽略不计)此种方法是"最优方法"优点:时间复杂度和空间复杂度最低,而且可读性高
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