机器人多变量控制方法简述

Thanks Mark W. Spong for his great work of Robot Modeling and Control.

机器人动力学模型

首先，我们将给出机械臂的动力学方程。机器人运动方程为：

∑j=1ndkj(q)q¨j+∑i=1n∑j=1ncijk(q)q˙iq˙j+gk=τk

机器人驱动器动力学为：

Jmkθ¨mk+Bkθ˙mk=Kmk/RkVk−τk/rk

其中，对于所有的k=1,⋯,n， Bk=Bmk+KbkKmk/Rk。结合上述公式，得到对于所有的k=1,⋯,n

r2kJmkq¨k+∑j=1ndkjq¨j+∑i,j=1ncijkq˙iq˙j+r2kBkq˙k+gk=rkKmRVk

其中 θmk=rkqk。进一步简化可得：

M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+Bq˙+g(q)=u

为了简单起见，我们设定摩擦系数矩阵 B=0。

PD控制

一个独立关节的PD控制策略可以写成下列向量形式：

u=−KPq~−KDq˙

其中，q~=q−qd 是期望关节位移（常值）与实际关节位移之间的误差。KP， KD 分别为比例和微分增益的（正）对角矩阵。在没有重力的情况下（g(q)=0），上述控制律可以实现对期望关节位置的渐进跟踪。

然而，实际中仅使用PD控制无法保证系统实现渐进跟踪。在实践中，将会出现稳态误差，因为机器人必须能够使电机产生一个保持力矩来平衡重力扭矩g(q)。为了消除这个稳态误差，我们可以将PD控制律修改如下：

u=−KPq~−KDq˙+g(q)

上述控制律需要在每个时刻根据拉格朗日方程来计算重力项，在这些未知的情况下无法计算上述控制律。

逆动力学控制

关节空间

逆动力学控制包括两个表达式，一个是内环控制，一个是外环控制。考虑一个n-连杆刚性机器人的动力学方程：

M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=u

逆动力学的思路是：寻找一个非线性反馈控制律

u=f(q,q˙,t)

当该控制律被代入到动力学方程时，会得到一个线性闭环系统。

如果根据下列公式选择控制输入 u （内环）：

u=M(q)aq+C(q,q˙)q˙+g(q)

由于惯量矩阵 M 可逆，综合系统可简化为 （外环）：

q¨=aq

上式中 aq 代表一个尚待选择的新输入，该公式被称为双积分系统（double integrator system）。该公式是线性且解耦的，这意味着每个输入 aqk 可被设计用来控制一个SISO线性系统。此外，假设 aqk 仅是 qk 和 q˙k 的函数，那么闭环系统将是解耦的。

一个明显的选择是令：

aq=q¨d(t)−K0q~−K1q~˙

这无非是一个带有前馈加速的PD控制器。

任务空间

任务空间内的跟踪可以通过修改外环控制，保持内环控制来实现。通过使用SO(3)令 X∈R6 表示末端执行器的姿态，我们有：

X˙X¨=J(q)q˙=J(q)q¨+J˙(q)q˙

其中 J 是分析型雅克比矩阵。如果我们选取下列 aq：

aq=J−1(aX−J˙q˙)

结果得到的是任务空间坐标系中的一个双积分系统，如下：

X˙=aX

给定一个任务空间轨迹 Xd(t) ，我们可以选择 aX 如下：

aX=X˙d−K0(X−Xd)−K1(X˙−X˙d)

实施逆动力学控制方法的一个缺点是：系统参数必须是明确已知的。

基于无源性的运动控制

再次考虑机器人动力学方程：

M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=u

选取控制输入如下：

u=M(q)a+C(q,q˙)v+g(q)−Kr

其中

var=q˙d−Λq~=v˙=q¨d−Λq~˙=q˙−v=q~˙+Λq~

其中 K 和 Λ 是定常正值增益的对角阵。将上述控制律代入到机器人动力学方程中可得：

M(q)r˙+C(q,q˙)r+Kr=0

注意到上述系统不是解耦的，仍是一个非线性偶合系统。其渐进收敛性可通过李雅普诺夫方法证明，此处省略。

基于无源性的鲁棒控制

鲁棒控制器是一个固定的控制器，它被设计用来面对大范围不确定时依然能满足性能要求。

对上述控制器做如下修改：

u=M^(q)a+C^(q,q˙)v+g^(q)−Kr

就机器人动力学的线性参数化而言，上述控制器变为：

u=Y(q,q˙,a,v)θ^−Kr

联立得到闭环系统：

M(q)r˙+C(q,q˙)r+Kr=Y(q,q˙,a,v)(θ^−θ)

令

θ^=θ0+δθ

其中 θ0 是一个固定的名义参数向量， δθ 是一个额外的控制项。那么，闭环系统可以被写成：

M(q)r˙+C(q,q˙)r+Kr=Y(q,q˙,a,v)(θ~+δθ)

如果通过寻找一个非负常数 ρ≥0 使得这个不确定性有界，即

∥θ~∥=∥θ−θ0∥≤ρ

那么，附加项 δρ 可以根据下式设计：

δθ=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−ρYTr∥YTr∥,∥YTr∥>ϵ−ρϵYTr,∥YTr∥≤ϵ

我们可以证明跟踪误差的一致最终有界性，此处从略。

基于无源性的自适应控制器

自适应控制器与鲁棒控制器的区别在于：它采用某种形式的参数估计。在重复的运动任务中，由固定的鲁棒控制器产生的跟踪误差也趋于重复；随着控制参数根据运行时的信息而更新，由自适应控制器产生的跟踪误差预计会随时间减少。

在自适应控制方法中，θ^ 向量被当作是对真实参数向量 θ 的一个时变估计，即：

M(q)r˙+C(q,q˙)r+Kr=Yθ~

对参数的估计可以用梯度法或最小二乘法等标准方法。例如：使用梯度法

θ^=−Γ−1YT(q,q˙,a,v)r

将得到跟踪误差全局收敛性以及参数估计有界性。证明从略。