扩展欧几里得 以A/B HDU

先说说欧几里得算法：其实就是辗转相除法，gcd(a,b)=gcd(b,a%b);代码表示为：

int gcd(int a,int b) {     if(b==0)         return a;     return          gcd(b,a%b); }

     再说说扩展欧几里得：其实就是找一堆整数（x,y），使得ax+by=gcd(a,b)。注意x和y不一定为正数，也可能为负数和0。

具体来说就是ax+by=gcd(a,b)；bx+a%b=gcd(a,b);ax+by=b*1+a%b*y1；

ax+by=b*x1+(a-a/b*b)y1;ax+by=a*y1+b(x1-a/b*y1);

所以x=y1;y=x1-a/b*y1;

具体代码为：

int exc_ld(int a, int b, int &x, int &y){    if(b==0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    GCD = exc_ld(b, a%b, x, y);    int temp = x;    x = y;    y = temp- (a/b) * y;}

以下具体说题目是怎么用扩展欧几里得求解的。

A/B

 HDU - 1576  

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。 
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

21000 5387 123456789

Sample Output

79226060

题意为：求（a/b）%9973，n=a%9973，gcd（b，9973）=1，已知为n和b，求（a/b）%9973。

解题思路：求（a/b）%9973就是求a/b；那设a/b=x;a=bx；

又因为n=a%9973；所以n=a-a/9973*9973；所以n=bx-bx/9973*9973;

设x1=x，y1=bx/9973，所以n=b*x1-9973*y1;两边同除n；b*x1/n-9973*y1/n=1;

这时候b*x2-9973*y2=1,又因为gcd(b,9973)=1,所以b*x2-9973*y2=gcd(b,9973);

故通过扩展欧几里得可求得x的特解，且是最小的那个特解；求出来以后还得乘以n，因为之前先除过的。

代码如下：

#include<stdio.h>int GCD;int exc_ld(int a, int b, int &x, int &y){    if(b==0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    GCD = exc_ld(b, a%b, x, y);    int temp = x;    x = y;    y = temp- (a/b) * y;}int main(){    int b,n,x,y,cas;    scanf("%d",&cas);    while(cas--)    {        scanf("%d%d",&n,&b);        exc_ld(b, 9973, x, y);        x *= n;        printf("%d\n",((x%9973)+9973)%9973);    }    return 0;}