线段树模板

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。
      使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

线段树主要是解决一个区间内的更新和查询，又分为单点更新区间查询，区间更新单点查询，区间更新区间查询。

1、单点更新，区间查询。

这是最简单的线段树，先初始化构造这棵树，然后可以进行两种操作：更新和查询，查询又分为查询区间和sum及区间最值。详细见下面代码：

#include <stdio.h>#include <algorithm>#define N 1000005using namespace std;struct node {int l,r,sum,m;//sum为和，m为最大值 };node a[N];void build(int l,int r,int i){a[i].l=l;a[i].r=r;a[i].m=0;a[i].sum=0;if(l==r)return;int mid=(l+r)/2;build(l,mid,i*2);build(mid+1,r,i*2+1);}void update(int i,int p,int x)//i为此时结点的位置，p为目标位置 x为插入的数值 {if(a[i].l==a[i].r){a[i].m=x;a[i].sum=x;return;}int mid=(a[i].l+a[i].r)/2;if(p>mid)update(i*2+1,p,x);elseupdate(i*2,p,x);a[i].m=max(a[i*2].m,a[i*2+1].m);a[i].sum=a[i*2].sum+a[i*2+1].sum;}int find_max(int l,int r,int i)//l和r为询问区间的范围,i为当前结点 {if(a[i].l == l && a[i].r == r)return a[i].m;int mid = (a[i].l+a[i].r)/2;if(l>mid)return find_max(l,r,i*2+1);else if(r<=mid)return find_max(l,r,i*2);elsereturn max(find_max(l,mid,i*2),find_max(mid+1,r,i*2+1));}int find_sum(int l,int r,int i){if(a[i].l==l&&a[i].r==r)return a[i].sum;int mid=(a[i].l+a[i].r)/2;if(l>mid)return find_sum(l,r,i*2+1);else if(r<=mid)return find_sum(l,r,i*2);elsereturn find_sum(l,mid,i*2)+find_sum(mid+1,r,i*2+1);}int main(){int m,n,p,x,y;scanf("%d%d",&m,&n);build(1,m,1);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d",&x);update(1,i,x);}for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);if(p==1)update(1,x,y);else if(p==2)printf("%d\n",find_sum(x,y,1));else if(p==3)printf("%d\n",find_max(x,y,1));}return 0;}

2、区间更新，单点查询

区间更新需要用到一种lazy思想，修改一个区间的值时，不必每次都修改区间内的每个点，在这个区间的父结点做个标记即可，只有在必要时，才进行修改，这样就减少了修改的次数，节省时间。

具体说的话，主要是体现在两个方面。第一，更新时，如果当前区间就是要更新的区间，那么把这个区间要更新的值记录在这个结点的tag，不再继续往下更新，直接return，这是与常规线段树的一个区别；如果当前区间大于要更新的区间，那么先把之前做的标记传递给子结点并清空当前结点标记，然后再进行更新。第二，查询时，如果要查询当前区间的一个子区间并且当前区间有标记，那么先把标记传递给子结点并清空当前结点标记，再进入子区间内查询。

区间更新，单点查询的代码如下：

（以这个题为例：给n个气球，一共n次操作，每次给（l,r）区间的气球涂上一种颜色 ，最后输出每种气球的颜色数目）

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 100005;struct node{int l, r, x, tag;//tag为标记 }; node a[maxn * 4];void init(int l,int r, int i){a[i].l = l, a[i].r = r;a[i].x = a[i].tag = 0;if(l == r) return;int mid = (l + r) / 2;init(l, mid, i * 2);init(mid + 1, r, i * 2 + 1);}void push_down(int i){if(a[i].tag == 0)return ;a[i*2].tag += a[i].tag;a[i*2+1].tag += a[i].tag;a[i].tag = 0;}void update(int l, int r, int i){if(a[i].l == l && a[i].r == r){a[i].tag ++;return ;}push_down(i);int mid = (a[i].l + a[i].r)/2;if(l > mid) update(l, r, i*2+1);else if(r <= mid) update(l, r, i*2);else{update(l, mid, i*2);update(mid+1, r, i*2+1);}}int search(int i, int p){//i为当前位置，p为目标位置 if(a[i].l== a[i].r)return a[i].tag;push_down(i);int mid = (a[i].l + a[i].r)/2;if(p > mid)return search(i*2+1, p);return search(i*2, p);}int main(){int n, l, r;while(scanf("%d", &n) && n){init(1, n, 1);for(int i = 0; i < n; i ++){scanf("%d%d",&l, &r);update(l, r, 1);}for(int i = 1; i<n; i++)printf("%d ",search(1,i));printf("%d\n",search(1,n));}return 0;}

3、区间更新，区间查询

这种与第2中相似，不同之处在于update和push_down时维护的值是一个区间的，如果是要查询区间的和的话，那么维护时父结点的sum变化应该是加上tag*len，len为这个区间的长度。具体见下面代码：

以poj3468为例，给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C a b c’是把a~b这段数都加上c，代码如下：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define N 100001typedef long long ll;struct node{int l, r;ll sum, tag;};node a[N*4];void push_up(int i){a[i].sum = a[i<<1].sum + a[i<<1|1].sum;}void push_down(int i){if(a[i].tag == 0)return;int lchild = i<<1;int rchild = i<<1|1;a[lchild].tag += a[i].tag;a[lchild].sum += a[i].tag * (a[lchild].r-a[lchild].l+1);a[rchild].tag += a[i].tag;a[rchild].sum += a[i].tag * (a[rchild].r-a[rchild].l+1);a[i].tag = 0;}void build(int l, int r, int i){a[i].l = l;a[i].r = r;a[i].tag = 0;if(l == r){scanf("%lld", &a[i].sum);return;}int mid = (l + r) >> 1;build(l, mid, i<<1);build(mid+1, r, i<<1|1);push_up(i);}void update(int l, int r, int i, ll c){if(a[i].l==l && a[i].r==r){a[i].tag += c;a[i].sum += (r-l+1)*c;return;}if(a[i].l==a[i].r)return;push_down(i);int mid = (a[i].l+a[i].r) >> 1;if(l > mid) update(l, r, i<<1|1, c);else if(r <= mid) update(l, r, i<<1, c);else{update(l, mid, i<<1, c);update(mid+1, r, i<<1|1, c);}push_up(i);}ll find_sum(int l, int r, int i){if(a[i].l==l && a[i].r==r){return a[i].sum;}push_down(i);int mid = (a[i].l+a[i].r)>>1;if(l > mid) return find_sum(l, r, i<<1|1);else if(r <= mid) return find_sum(l, r, i<<1);else return find_sum(l, mid, i<<1) + find_sum(mid+1, r, i<<1|1);}int main(){int n, q;while(cin>>n>>q){build(1, n, 1);char str[2];int a, b;ll c;while(q--){scanf("%s", str);if(str[0] == 'Q'){scanf("%d%d", &a, &b);ll ans = find_sum(a, b, 1);printf("%lld\n", ans);}else if(str[0] == 'C'){scanf("%d%d%lld", &a, &b, &c);update(a, b, 1, c);}}}return 0;} 

以上总结都是线段树的基础，具体题目需要灵活变化某些变量和维护的数值。
下面是一些线段树的题目（摘自http://blog.csdn.net/u013656184/article/details/47393541）

1.改点求段

1）点改变（增加，减小，替换），求某段的和
HDU1166 敌兵布阵

2）点改变（增加，减小，替换），求某段最大小值
HDU1754  I Hate It
POJ3264  Balanced Lineup

2.改段求段

1)改段求段（段增减）
poj 3468 A Simple Problem with Integers

2）改段求段（段替换）

HDU1698 Just a Hook
POJ2528 Mayor's posters
ZOJ1610 Count the Colors
HDU3974 Assign the task
HDU4578 Transformation
HDU4614 Vases and Flowers

3）区间合并

POJ3667 Hotel
HDU1540 Tunnel Warfare
HDU4553 约会安排