递推总结

卡特兰数：
f(n)=Cn2nn+1=(2n)!n!(n+1)!
f(n+1)=4n−6nf(n)
f(n)=1n(2n−2n−1)

第一类Stirling数：
考虑多项式x(x−1)(x−2)…(x−n+1)的展开式
Snxn−Sn−1xn−1+Sn−2xn−2−⋯+(−1)n−1S1x
将上述展开式中xr的系数的绝对值Sr，记作[nr]，称作第一类Stirling数。
[nr]=(n−1)[n−1r]+[n−1r−1]
[n0]=0,[n1]=(n−1)!

第二类Stirling数：
n个不同的球恰好放到r个相同的盒子里的方法数称作第二类Stirling数，记作{nr}
第二类Stirling数满足下述递推方程：
{nr}=r{n−1 r}+{n−1 r−1}
{n0}=0,{n 1}=1

放球问题的相关计数结果

球区别(n个) 盒区别(m个) 是否空盒 模型 方案计数 有 有 有 选取 mn 有 有 无 放球子模型 m!{n m} 有 无 有 放球子模型 ∑k=1m{n k} 有 无 无 放球子模型 {n m} 无 有 有 不定方程 Cnn+m−1 无 有 无 不定方程 Cm−1n−1 无 无 有 正整数拆分 G(x)=1(1−x)(1−x2)…(1−xm), xn系数 无 无 无 正整数拆分 G(x)=xm(1−x)(1−x2)…(1−xm), xn系数