leetcode 650. 2 Keys Keyboard

写在前面

contest 43真是做的人生无可恋。第一题待会也会写解题报告，但是感觉第一题是强行在塞考察点，并不推荐。相对来讲，本题的思路是比较清晰的动态规划类型，值得思考和学习。

题目描述

Initially on a notepad only one character ‘A’ is present. You can perform two operations on this notepad for each step:

Copy All: You can copy all the characters present on the notepad (partial copy is not allowed).
Paste: You can paste the characters which are copied last time.
Given a number n. You have to get exactly n ‘A’ on the notepad by performing the minimum number of steps permitted. Output the minimum number of steps to get n ‘A’.

Example 1:
Input: 3
Output: 3
Explanation:
Intitally, we have one character ‘A’.
In step 1, we use Copy All operation.
In step 2, we use Paste operation to get ‘AA’.
In step 3, we use Paste operation to get ‘AAA’.
Note:
The n will be in the range [1, 1000].

解题思路

题目的大意就是给定两种操作，复制和粘贴，每次复制只能复制写字板上存在的所有字符，每次粘贴也必须粘贴复制操作得到的所有字符。也就是说，复制的字符串的大小只可能与当前存在的写字板上的字符有 i%j == 0的关系，其中，i代表写字板上的字符串，j代表内存中复制的字符串。现在，给定一个初始的写字板上的字符’A’,问最少经过多少次操作（每次复制/粘贴分别算一次操作），写字板上’A’的个数才能为n。
这题初读非常绕，看给的example之后就能够大概明白题目含义。我们知道，每次复制只能够复制写字板上的所有字符，即copy all，那么在做这样一个操作之前，一个显而易见的思考就是，我什么时候才能做copy all，以及 我需要做多少次copy all？首先我们分析第一个问题，何时才能做copy all。我们知道，复制的字符串个数与写字板的字符串个数必须满足i%j == 0，也就是说，最后必须达到这样一个状态，才能够使字符串的总个数满足题目要求，紧接着就是第二个问题，这样的粘贴操作要做多少次。这个答案也很显然，i/j次。也就是说，我们最后的目标是使得满足i%j == 0的j尽量大，从而i/j就尽量小。很显然，这是一个动态规划问题，我们找一个最大的j，它满足如下的状态转移方程：
dp[i] = dp[j] + i/j; j 满足 s.t. max(i%j),j< i;

关于初始化的值：依据题意dp[0] = dp[1] = 0,dp[2] = 2,由此可知，dp[i]的最大值为i（每次只复制’A’达到最终的n)，这种情况对应素数的情况，因此，我们初始化所有值为最大值，并由动态规划过程做更新操作。
根据状态转移方程，我们可以写出最终的AC解：

class Solution {public:    int minSteps(int n) {        if(n<=1) return 0;        vector<int> dp(n+1,0);        for(int i = 2;i<dp.size();++i) {            dp[i] = i;            for(int j = i-1;j>1;--j) {                if(i%j==0) {                    dp[i] = dp[j]+i/j;                    break;                }            }        }        return dp[n];    }};