莫比乌斯反演

//每次硬着头皮看莫比乌斯反演都会无一例外地睡着，在半梦半醒之间总会产生一种或许可能大概是理解了的错觉，所以只能多看几次，再多看几次 摊手.jpg

学习资料：
https://wenku.baidu.com/view/542961fdba0d4a7302763ad5.html
https://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html?from=search

hdoj1695 GCD
推荐博客：
http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3273440.html

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define N 100005bool vs[N];int mu[N],pm[N];void mobius(){    mu[1]=1;    int tot=0;    for(int i=2;i<N;i++){        if(!vs[i]) pm[tot++]=i,mu[i]=-1;        for(int j=0;j<tot;j++){            if(i*pm[j]>N) break;            vs[i*pm[j]]=1;            mu[i*pm[j]]=i%pm[j]?-mu[i]:0;        }    }}int main(){    int _,t,a,b,c,d,k,i;    mobius();    scanf("%d",&t);    for(_=1;_<=t;_++){        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);        printf("Case %d: ",_);        if(!k) { puts("0");continue; }        b/=k,d/=k;        if(b>d) swap(b,d);        long long ans=0;        for(i=1;i<=b;i++) ans-=1ll*mu[i]*(b/i)*(b/i); //去掉重复的部分，只出现在[1,b]区间内        ans/=2;        for(i=1;i<=b;i++) ans+=1ll*mu[i]*(b/i)*(d/i);        printf("%lld\n",ans);    }}

hdoj6053 TrickGCD
首先看到题目里说gcd>=2就该联想到取补集，用所有的情况数减去gcd==1的情况更为简便
f(d)表示d==gcd(b[1],b[2],…,b[n])的情况数
F(d)表示d|gcd(b[1],b[2],…,b[n])的情况数，易得：F(d)=∏ni=1⌊aid⌋
由莫比乌斯反演得：f(x)=∑x|dμ(dx)∗F(d)
我们要求的f(1)=∑μ(d)∗F(d)=∑μ(d)∗∏ni=1⌊aid⌋
预处理F数组，每次对于i，找出所有满足⌊di⌋==j的数，乘进去

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;#define ms(x) memset(x,0,sizeof(x))const int N=1e5+5;const LL M=1e9+7;bool vs[N];int pm[N],a[N];LL mu[N],F[N],ans,tmp;void mobius(){    mu[1]=1;    int tot=0;    for(int i=2;i<N;i++){        if(!vs[i]) pm[tot++]=i,mu[i]=-1;        for(int j=0;j<tot;j++){            if(i*pm[j]>N) break;            vs[i*pm[j]]=1;            mu[i*pm[j]]=i%pm[j]?-mu[i]:0;        }    }}LL pow_mod(LL a,LL b){    LL s=1;    while(b){        if(b&1) s=s*a%M;        b>>=1;        a=a*a%M;    }    return s;}int main(){    mobius();    int t,c,n,x,mn,mx,i,j;    scanf("%d",&t);    for(c=1;c<=t;c++){        scanf("%d",&n);        ms(a),ms(F),mn=N,mx=0,ans=1;        while(n--) scanf("%d",&x),a[x]++,mn=min(mn,x),mx=max(mx,x),ans=ans*x%M;        for(i=1;i<=mx;i++) a[i]+=a[i-1];        for(i=1;i<=mn;i++)for(F[i]=j=1;j*i<=mx;j++) F[i]=F[i]*pow_mod(j,a[min(i*(j+1)-1,mx)]-a[i*j-1])%M;        for(tmp=0,i=mn;i;i--) tmp=(tmp+F[i]*mu[i]%M)%M;        printf("Case #%d: %lld\n",c,(ans-tmp+M)%M);    }}

hdoj4746 Mophues
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http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/12871643
http://blog.csdn.net/wh2124335/article/details/11846661

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;#define N 500005bool vs[N];int t,i,j,l,mu[N],pm[N],num[N],cnt[N][19]; //四个数组依次表示莫比乌斯系数，质数，质因子个数，预处理前缀和void mobius(){    mu[1]=1;    int tot=0;    for(int i=2;i<N;i++){        if(!vs[i]) pm[tot++]=i,mu[i]=-1,num[i]=1;        for(int j=0;j<tot;j++){            if(i*pm[j]>N) break;            vs[i*pm[j]]=1,num[i*pm[j]]=num[i]+1;            mu[i*pm[j]]=i%pm[j]?-mu[i]:0;        }    }}void init(){    mobius();    for(i=1;i<N;i++)for(j=i;j<N;j+=i) cnt[j][num[i]]+=mu[j/i]; //枚举i作为公因子产生的贡献    for(i=1;i<N;i++)for(j=1;j<19;j++) cnt[i][j]+=cnt[i][j-1];  //素因子数小于等于j的前缀和    for(i=1;i<N;i++)for(j=0;j<19;j++) cnt[i][j]+=cnt[i-1][j];  //基于分块的思想求i的前缀和}int main(){    init();    int t,n,m,p,l;    LL ans;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);        if(p>18) { printf("%lld\n",1ll*n*m);continue; }        if(n>m) swap(n,m);        for(ans=0,l=i=1;i<=n;i=l+1){            l=min(n/(n/i),m/(m/i));            ans+=1ll*(cnt[l][p]-cnt[i-1][p])*(n/i)*(m/i);        }        printf("%lld\n",ans);    }}

hdoj5663 Hillan and the girl
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#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;#define N 10000005bool vs[N];int t,mu[N],pm[N],g[N];LL ans,i,j,l;void mobius(){    mu[1]=1;    int tot=0;    for(int i=2;i<N;i++){        if(!vs[i]) pm[tot++]=i,mu[i]=-1;        for(int j=0;j<tot;j++){            if(i*pm[j]>N) break;            vs[i*pm[j]]=1;            if(i%pm[j]) mu[i*pm[j]]=-mu[i];            else { mu[i*pm[j]]=0;break; }        }    }}void init(){    mobius();    for(i=1;;i++){        l=i*i;        if(l>=N) break;        for(j=l;j<N;j+=l) g[j]+=mu[j/l];    }    for(i=2;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];}int main(){    init();    int t,n,m,p,l;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d%d",&n,&m);        if(n>m) swap(n,m);        for(ans=0,i=1;i<=n;i=l+1){            l=min(n/(n/i),m/(m/i));            ans+=1ll*(g[l]-g[i-1])*(n/i)*(m/i);        }        printf("%lld\n",1ll*n*m-ans);    }}