【HDU 1016】Prime Ring Problem(DFS、素数筛)

Prime Ring Problem

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A ring is compose of n circles as shown in diagram. Put natural number 1, 2, …, n into each circle separately, and the sum of numbers in two adjacent circles should be a prime.

Note: the number of first circle should always be 1.

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Input
n (0 < n < 20).

Output
The output format is shown as sample below. Each row represents a series of circle numbers in the ring beginning from 1 clockwisely and anticlockwisely. The order of numbers must satisfy the above requirements. Print solutions in lexicographical order.

You are to write a program that completes above process.

Print a blank line after each case.

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Sample Input
6
8

Sample Output
Case 1:
1 4 3 2 5 6
1 6 5 2 3 4

Case 2:
1 2 3 8 5 6 7 4
1 2 5 8 3 4 7 6
1 4 7 6 5 8 3 2
1 6 7 4 3 8 5 2

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题意

已知一个数n，将数字1~n围成一个圆环，要求： 相邻两个数之和为素数。
输出：

• 数字的方向一致（同顺时针或同逆时针），并保证排列不重复
• 只有一个数（n==1）时，输出1
• 输出Case k:（k为数据组数），每一组输出（第一个除外）之前都有一个空行

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思路：

• 要求每两个相邻数之和都为素数，那么只要每次递归调用DFS时判断之前两个数之和是否为素数，另外注意因为是一个环，最后还要判断一下最后一个数和第一个数之和是否为素数。
• 程序开始时求出一个素数数组，只需求出50以内的素数即可，因为数据<20,最大的素数和为17+19=36。此处用的是素数筛法（什么是素数筛法？）求素数。
  

素数筛法概览：

• 把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列， 1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束
• 例如： 先把n个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数
  

代码示例：

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#define MAX 51using namespace std;int prime[MAX];//素数数组 bool vis[21]; //访问数组 int n;// 个数 int ans[21];//解答输出数组 void Prime_set()  //筛法求素数 {    //Isprime 0、 IsNotprime 1      for(int i = 2; i<=sqrt(MAX) ;++ i)        if(prime[i] == 0){            for(int j = 2;i*j<=MAX;++j)                prime[i*j] = 1;        }    prime[1] = 0,vis[1]=true;//1虽然不是素数，但在此假设为0，将vis[1]设为true即不会遍历到1 }void DFS(int depth){    if(prime[ans[depth-1]+ans[depth-2]]!=0) return ;  //前两个数之和不是素数退出     if(depth==n+1&&prime[ans[depth-1]+ans[1]]!=0) return ; //当选到最后一个数时，第一个数和最后一个数之和不是素数时退出     if(depth==n+1)  //选到最后一个数，输出     {        for(int i=1;i<=n;i++)         {            if(i==1) cout<<ans[i];             else cout<<" "<<ans[i];         }            cout<<endl;    }    for(int i=2;i<=n;i++)   //把1~n按照一定顺序（DFS求得）填入数组ans     {        if(!vis[i])         {            vis[i]=true;            ans[depth]=i;            DFS(depth+1);            vis[i]=false;        }    }}int main(){    int t=1;     Prime_set();    while(cin>>n)    {        cout<<"Case "<<t++<<":"<<endl;        memset(vis,false,sizeof(vis));        ans[1] = 1;//1永远是首元素         if(n==1) cout<<"1"<<endl;        else             DFS(2);//1永远是首元素，从2开始DFS ；也防止之后depth-2<0         cout<<endl;    }       return 0;}

注：

• Q：1不是素数，为何要prime[1] = 0？
  
  • A：1虽然不是素数，但在此假设为0。因为之后判断（判断两个相邻素数和的时候）会出现一些问题：
    if(prime[ans[depth-1]+ans[depth-2]]!=0)
    在主函数初始进入DFS(2)时，这一句之中的depth-2等于0，ans[0]不在讨论范围之中，故仍然为0，而ans[1]为1，ans[depth-1]+ans[depth-2]=1，prime[1]如果不等于0的话，将会直接return。