特征分解条件
来源:互联网 发布:数据价值网 邹志飞 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 18:16
线性代数中,特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。
矩阵的特征分解
令 A 是一个 N×N 的方阵,且有 N 个线性无关的特征向量
这样, A 可以被分解为
其中 Q 是N×N方阵,且其第 i列为 A 的特征向量 。 Λ 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值,也即
。这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。比如
不能被对角化,也就不能特征分解。
一般来说,特征向量
一般被正交单位化(但这不是必须的)。未被正交单位化的特征向量组
也可以作为 Q 的列向量。这一事实可以这样理解: Q 中向量的长度都被
抵消了。
通过特征分解求矩阵的逆
若矩阵 A 可被特征分解并特征值中不含零,则矩阵 A 为非奇异矩阵,且其逆矩阵可以由下式给出:
因为 Λ 为对角矩阵,其逆矩阵容易计算出:
对特殊矩阵的特征分解
对称矩阵
任意的 N×N 实对称矩阵都有 N 个线性无关的特征向量。并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且模为 1 的向量。故实对称矩阵 A 可被分解成
其中 Q 为 正交矩阵, Λ 为实对角矩阵。
正规矩阵
类似地,一个复正规矩阵具有一组正交特征向量基,故正规矩阵可以被分解成
其中 U 为一个酉矩阵。进一步地,若 A 是埃尔米特矩阵,那么对角矩阵 Λ 的对角元全是实数。若 A 还是酉矩阵,则 Λ 的所有对角元在复平面的单位圆上取得。
可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵,则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间,则线性映射 T : V → V 被称为可对角化的,如果存在 V 的一个基,T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值,因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值和特征向量是已知的,并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和。
设A是数域F上n阶矩阵,如果存在可逆阵P,使inv(P)AP为对角阵,那么A称为可对角化矩阵。n阶方阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。对角矩阵的主对角线由特征值(可按任意次序)构成,相似变换矩阵由属于相应特征值的特征向量构成。
n阶矩阵可对角化的充要条件:每个Ki重特征值λi对应的特征矩阵λiE-A的秩为n-Ki。
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