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问题 A: Password

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题目描述

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E = {E[1],E[2],……,E[n]}，且E[1] = E[2] = p（p为一个质数），E[i] = E[i-2]*E[i-1] （若2<i<=n）。

例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p = 2的数列。在此基础上他又设计了一种加密算法，该算法可以通过一个密钥q (q < p)将一个正整数n加密成另外一个正整数d，计算公式为：d = E[n] mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密，但他对程序设计不太感兴趣，请你帮助他设计一个数据加密程序。

输入

第一行读入m，p。其中m表示数据个数，p用来生成数列E。 以下有m行，每行有2个整数n，q。n为待加密数据，q为密钥。 数据范围: 0 < p n< 2^31 0 < q < p 0 < m <= 5000。

输出

将加密后的数据按顺序输出到文件 第i行输出第i个加密后的数据。 输入样例1 2 7 4 5 4 6 输入样例2 4 7 2 4 7 1 6 5 9 3

样例输入

输入样例1 2 7 4 5 4 6 输入样例2 4 7 2 4 7 1 6 5 9 3 

样例输出

输出样例131输出样例23011

Password：
算法分析:矩阵乘法+线性筛
E[i]=p^f[i]
f[i]表示斐波那契数列的第i项
E[i]%q
=p^f[i]%q
因为q<p，所以gcd(p,q)=1
所以p^phi(q)%q=1，注意q不一定是质数
先求f[i]%phi(q)的值，再用快速幂求值即可
其实题目就是求p^F[n] 发现p,q互质，于是我们开心的大力用欧拉函数和矩阵快速幂 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
//#define V 
//#define mod 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
LL p,n,q,t;
LL s[100+(1<<16)],nd;//,d[(1<<16)+100];
bool sd[(1<<16)+100];
LL g,mod;
struct mat
{
 LL m[5][5];
   mat()
   {
     memset(m,0,sizeof(m));     
   }       
};
inline mat mul(mat &aa,mat &b,int mod)
{
    mat c;
    for(int i=1;i<=2;i++)
     for(int j=1;j<=2;j++)
     {
      c.m[i][j]=0;
      for(int k=1;k<=2;k++)        
           c.m[i][j]+=(aa.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;//cout<<c.m[i][j]<<"  @@@##"<<endl;
           c.m[i][j]%=mod;
      }
   return c; 
}
inline mat init()
{
            mat res;
            res.m[1][1]=1;
            res.m[1][2]=0;
            res.m[2][1]=0;
            res.m[2][2]=1;
            return res;
          
}
inline LL ks(mat aa,LL k,int mod)
{
    mat res=init();
    while(k)
    {
      if(k&1)
      res=mul(res,aa,mod);
       k>>=1;
     aa=mul(aa,aa,mod);
    }
    return res.m[1][1];
}
 
inline void pow()
{
       //cout<<(1<<16)<<endl;
     sd[0]=sd[1]=1;
     for(int i=2;i<(1<<16);i++)
     {
        //cout<<i<<endl;
        if(!sd[i])        
        {
         s[++nd]=i;
//         d[i]=i-1;
        } //cout<<i<<endl;                  
        for(int j=1;j<=nd&&i*s[j]<=(1<<16);j++)
        {   // cout<<i<<endl; 
            sd[i*s[j]]=1; 
            if(!(i%s[j]))
            break;          
        }                     
     }  
}
inline void ps(LL x)
{
  g=1;
  LL ww=x;
  //int ff=0;
  for(int i=1;i<=nd;i++)
  if(x==1)break;
  else if(x%s[i]==0)
  {
      // ff=1;
       g*=s[i]-1;
       x/=s[i];
     while(x%s[i]==0)
     {
       g*=s[i]; 
       //if(ww==411518)
       //cout<<g<<"  **"<<x<<"  "<<s[i]<<endl; 
       x/=s[i];               
     }    
     //if(ww==411518)
     //cout<<g<<"  **"<<x<<"  "<<s[i]<<endl; 
 }   
 if(x!=1)g*=x-1; 
 //cout<<g<<" @@#$"<<endl;    
}
inline LL pp(LL x,LL y)
{
   LL w=1;
   for(;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
     if(y&1)w=(LL)w*x%mod;
     return w;      
        
}
inline int haha()
{
     //freopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout); //
     //freopen("password.in","r",stdin); freopen("password.out","w",stdout);
    cin>>t>>p;
   // cout<<" !! "<<endl;
     int ds;
     pow();
     mat a;
      a.m[1][1]=1;
      a.m[1][2]=1;
      a.m[2][1]=1;
      a.m[2][2]=0;
     while(t--)
     {
       scanf("%d%d",&n,&q);
       if(q==1)
       {
          printf("0\n");continue;        
       }
       g=0;  
      ps(q); 
      mod=g;
      n--;
      ds=ks(a,n,g); 
     // cout<<g<<"  "<<ds<<"  "<<q<<endl; 
      mod=q; 
      printf("%d\n",pp(p,ds));
       //while()        
     } 
}
int gg=haha();
int main()
{;}