Tarjan

Tarjan是多种算法的总称，因为Tarjan这个人太牛X了，那我们今天就来看一看Tarjan神的算法之一 ：Tarjan求割边割点；首先我们要清晰什么是割边割点：    割点：         首先我们有一张连通图：

对于这张图，显然它是一张联通图，那么割点的定义就是：“某一个点A，若删除这个点并且删去这个点所练的边，那么这张图的强联通分量增多”；

若删除点3及相连的边后，强联通分量就变成了{1,2}和{4,5,6} (点3已删除)；

那么割边呢？

显然，根据割点的定义，割边的定义可以推得：“某一条边B，若删除该边，则所在图的强联通分量增多”；这个定义和割点的定义极其相似；

则，在上图中，若删除3—4这条边，改图的强联通分量数目改变，由{1,2,3,4,5,6}—>{1,2,3}和{4,5,6}；所以，该图中3—4这条边就是该图的割边；

同样，一重点内容个图中的割点割边有时候不止一个；

而Tarjan是怎么求割边割点呢？？！
用一个dfs的思想，建一棵搜索树；
然后我们有一个结论：

割点：<1> 若这个点A是根节点，那么只要它有两棵及以上的子树，那么它必为割点；
<2> 若这个点A不是根节点，则如果它所有儿子的LOW都小于等于节点A的DFN，则节点A是割点；

割边同样可以类比割点的性质；
割边：<1> 若该节点A，与它的子节点B，若节点B的LOW小于A的DFN，则A——B是割边；

割点：证明<1>：若该根节点A含有两棵及以上子树，则删去节点A，其子树必定成为独立的强联通分量，且数量增多；反之，若只含有一棵子树，则节点A删除后对原图联通性毫无影响；

割点：证明<2>：若节点A非根节点，且没有一个儿子的LOW小于A的DFN，即没有回边指向节点A的祖先，所以以节点A为根的子树是通过节点A来连接到整棵树上的，所以删除节点A后，该子树脱落，强联通分量增加；

割边：证明<1>：若节点A的儿子B，LOW[B]>DFN[A] ，则以B为根节点的子树是由A——B这条边连接到整棵树中的，所以删除A——B，该子树脱落，强联通分量增加；

作为一个程序员，我们看重的不能只有思想，还要有代码：

void Tarjan(int x){    int child=0;    DFN[x]=LOW[x]=++_num;    for(R II i=head[x];i;i=aa[i].up)    {        R II go=aa[i].to;        if(!DFN[go]){            child++;            fa[go]=x;            Tarjan(go);            if(LOW[go]>DFN[x]) ...            // x 和 go所连的边是一条割边；            LOW[x]=min(LOW[go],LOW[x]);            if(LOW[go]>=DFN[x]&&x!=root)  bit[x]=1;            // x 是根时 ，x 是一个割点；             if(x==root&&child>1)  bit[x]=1;            // x 不是根时 ，x 是割点；         }        else{            if(go!=fa[x]){                LOW[x]=min(LOW[x],DFN[go]);            }        }    }}for(int i=1;i<=n;i++)// 原图不一定是一个强联通分量；{    if(!DFN[i]){        root=i;        Tarjan(i);    }}

by aTm；
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