Tarjan

来源：互联网发布：两期二叉树模型知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/22 12:56

Tarjan 算法

一.算法简介

Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的算法，它能做到线性时间的复杂度。

我们定义：

如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connectedcomponents)。

例如：在上图中，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　, { 6 } 三个区域可以相互连通，称为这个图的强连通分量。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

再Tarjan算法中，有如下定义。

DFN[ i ] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)

LOW[ i ] : 为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号

当DFN[ i ]==LOW[ i ]时，为i或i的子树可以构成一个强连通分量。

二.算法图示

以1为Tarjan 算法的起始点，如图

顺次DFS搜到节点6

回溯时发现LOW[ 5 ]==DFN[ 5 ] , LOW[ 6]==DFN[ 6 ] ,则{ 5 } , { 6 } 为两个强连通分量。回溯至3节点，拓展节点4.

拓展节点1 ，发现1再栈中更新LOW[ 4 ]，LOW[ 3 ] 的值为1

回溯节点1，拓展节点2

自此，Tarjan Algorithm 结束，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　, { 6 } 为图中的三个强连通分量。

不难发现，Tarjan Algorithm 的时间复杂度为O(E+V).

1. #include<iostream>

2. using namespace std;

3. int DFN[105]; //记录在做dfs时节点的搜索次序

4. int low[105]; //记录节点能够找到的最先访问的祖先的记号

5. int count=1; //标记访问次序，时间戳

6. int stack[105]; //压入栈中

7. int top=-1;

8. int flag[105]; //标记节点是否已经在栈中

9. int number=0;

10.int j;

11. int matrix[105][105]={{0,1,1,0,0,0},{0,0,0,1,0,0},{0,0,0,1,1,0},{1,0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0,0}};

12.int length; //图的长度

13. void tarjan(int u){

14. DFN[u]=low[u]=count++; //初始化两个值，自己为能找到的最先访问的祖先

15. stack[++top]=u;

16. flag[u]=1; //标记为已经在栈中

17.

18. for(int v=0;v<length;v++){

19. if(matrix[u][v]){

20. if(!DFN[v]){ //如果点i没有被访问过

21. tarjan(v); //递归访问

22. if(low[v]<low[u])

23. low[u]=low[v]; //更新能找的到祖先

24. }

25. else{ //如果访问过了，并且该点的DFN更小，则

26. if(DFN[v]<low[u]&&flag[v]) //flag[v]这个判断条件很重要，这样可以避免已经确定在其他联通图的v,因为u到v的单向边而影响到u的low

27. low[u]=DFN[v]; //也就是已经确定了的联通图要剔除掉，剔除的办法就是判断其还在栈中，因为已经确定了的连通图的点

28. } //flag在下面的do while中已经设为0了(即已经从栈中剔除了)

29. }

30. }

31.

32. //往后回溯的时候，如果发现DFN和low相同的节点，就可以把这个节点之后的节点全部弹栈，构成连通图

33. if(DFN[u]==low[u]){

34. number++; //记录连通图的数量

35. do{

36. j=stack[top--]; //依次取出，直到u

37. cout<<j<<" ";

38. flag[j]=0; //设置为不在栈中

39. }while(j!=u);

40. cout<<endl;

41. }

42.}

43. int main(){

44.

45. memset(DFN,0,sizeof(DFN)); //数据的初始化

46. memset(low,0,sizeof(low));

47. memset(flag,0,sizeof(flag));

48.

49. length=6;

50. tarjan(0);

51.

52. cout<<endl;

53. for(int i=0;i<6;i++){

54. cout<<"DFN["<<i<<"]:"<<DFN[i]<<" low["<<i<<"]:"<<low[i]<<endl;

55. }

56. return 0;

57. }

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