逆元概念与模板

如果两个数a和b，它们的乘积关于模m余1，我们称它们互为关于模m的数论倒数，⼀般形式为：a *b≡1（mod m）

还有⼀种形式是：对于正整数a和m，如果有a⋅x≡1(mod m)，那么把这个同余⽅程中x的最⼩正整数解叫做a模m的逆元。

⽽我们要处理的⼀个⼤问题，就是如何去求逆元。

有的题⽬要求结果mod⼀个⼤质数，如果原本的结果中有除法，⽐如除以a，那就可以乘以a的逆元替代

下⾯介绍两种求逆元的⽅法：

【1】欧拉函数（费马⼩定理求逆元）

  φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。对正整数n，欧拉函数的值是少于或等于n的数中与n互质的数的数⽬。

  此外有欧拉定理：设a,m∈N,(a,m)=1（即a与m互质，最⼤公约数为1）,则a^φ(m) ≡1(mod m)，根据上边的性质我
  们可以了解到,当m为质数时，欧拉函数的值为m-1。由此可得欧拉定理的⼀个特殊情况:
                                                                a^(m-1) ≡ 1（mod m）
                                                              （m为质数且a与m互质）
  这就是⼤名⿍⿍的费马⼩定理。它是欧拉定理的⼀个特殊情况，我们观察这个式⼦，是不是有些似曾相识？
  没错，将式⼦稍微变形，我们就可以得到
                                                                a*a^(m-2) ≡≡ 1（mod m）

  也就是说，a关于m的逆元正是a^(m-2) 。于是，当a与m互质时，我们仅需使⽤快速幂求出a^(m-2) 的值即可。时间复
  杂度O(√n)。要求：a和M互质，且M为质数。

  代码： 

///M 必须是质数const long long M = 1000000007;long long quickpow(long long a, long long b){    if (b < 0)    {        return 0;    }    long long ret = 1;    a %= M;    for (; b; b >>= 1, a = (a * a) % M)        if (b & 1)        {            ret = (ret * a) % M;        }    return ret;}long long inv(long long a){    return quickpow(a, M - 2);}

【2】拓展欧⼏⾥得求逆元

  拓展欧⼏⾥得算法可以求出ax+by=gcd(a,b)=d的整数解。那利⽤拓展欧⼏⾥得算法如何求乘法逆元呢？很简
  单，我们对逆元的⽅程做⼀个简单的变换。
                                                        a⋅x≡1(mod m)  <=> a*x+m*y=1
  这⾥我们可以看到，当gcd(a,m)不为1的时候，⽅程是⽆解的。也就是说我们只需求出⼀个x的解，即可得出a
  的逆元。但题⽬往往要求我们求最⼩的逆元，⾮常简单，直接让x%m即可。时间复杂度O(loga)，要求互素
 （m不⼀定要是素数）

  代码：

///需要与M 互质const long long M = 1000000007;long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){    if (b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    long long ans = exgcd(b, a % b, x, y);    long long temp = x;    x = y;    y = temp - (a / b) * y;    return ans;}long long inv(long long a){    long long x, y;    long long t = exgcd(a, M, x, y);    if (t != 1)    {        return -1;    }    return (x % M + M) % M;}

求ax ≡c(mod b)

typedef long long LL;LL e_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){    if (b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    LL ans = e_gcd(b, a % b, x, y);    LL temp = x;    x = y;    y = temp - a / b * y;    return ans;}LL cal(LL a, LL b, LL c)  ///求ax = c(mod b){    LL x, y;    LL gcd = e_gcd(a, b, x, y);    if (c % gcd != 0)    {        return -1;    }    x *= c / gcd;    b /= gcd;    if (b < 0)    {        b = -b;    }    LL ans = x % b;    if (ans <= 0)    {        ans += b;    }    return ans;}

  线性处理1～n的逆元
  刚刚的两种⽅法全部要求a和m需要互质，但是有的题⽬两个数并不互质，这时我们有⼀种不需要a和m互质的算法

 （但依然要求m为质数），线性处理法。
  先说结论，这个算法可以去求1,2,3,…,N关于m的逆元（m为质数），x^(-1) ≡−(y/x)*(y mod x)^(-1) (mod y)

  这样通过迭代我们可以得到从1～n的所有逆元，复杂度o(n).

  证明过程略；代码如下：

const int mod = 1000000009;const int maxn = 10005;int inv[maxn];inv[1] = 1;for (int i = 2; i < 10000; i++){    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;}