[转]指数加权移动平均(EWMA)--滤波器/似然估计/卷积？

前几天看到一篇论文涉及所谓的EWMA，遂挖掘并整理出来。

(Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)指数加权移动平均是一种常用的序列数据处理方式，如下：

在时间 t, 根据实际的观测值（或量测值）我们可以求取 EWMA（t）如下：

EWMA(t ) = λY(t)+ ( 1-λ) EWMA(t-1) for t = 1, 2, ..., n.

* EWMA（t）：t时刻的估计值
* Y（t）： t 时间之量测值﹐
* n is the number of observations to be monitored including EWMA0
* λ ( 0 < λ< 1 ) ﹐表EWMA对于历史量测值之权重系数﹐其值越接近1，表对过去量测值的权重较低

从另一个角度看， λ 决定了EWM A估计器跟踪实际数据突然发生变化的能力，即时效性， 显然随着 λ 增大， 估计器的时效性就越强，反之，越弱;另一方面，由于 λ 的存在，EWMA还表现出一定的吸收瞬时突发的能力，这种能力称为平稳性。显然随着 λ 减小， 估计器的平稳性增强，反之降低。

应用领域：
1. 金融和管理领域处理统计数据处理的一个常用工具
2. 在通信领域中，EWMA主要用于对网络的状态参数进行估计和平滑， 例如在TCP 拥塞控制中EWMA被 用来计算分组的往返时延( RTT ) ，在拥塞控制中的主动队列管理(AQM）技术中很多使用EWMA平滑估计拥塞指示参数( 如平均队长) 等参数

深入观察：
1. 从概率角度看，EWMA是一种理想的最大似然估计技术，它采用一个权重因子 λ 对数据进行估计，当前估计值由前一次估计值和当前的抽样值共同决定

2. 从信号处理角度看，EWMA可以看成是一个低通滤波器，通过控制 λ 值，剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式

3.从移动平均的角度看，有点卷积的味道？这点，还有待高手指教

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顺便贴一个关于“卷积”概念的故事，挺深刻

有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天 如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已 经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！
县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？......想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：
——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？
——费话，疼呗！
——我问的是：会有什么表现？
——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼
（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉
强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！
县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：
——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？
——呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔 （建议Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果， 再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？
——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失 （衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！