笔记 树状数组--区间查询+区间修改

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区间修改+区间查询的树状数组，实际上是用两个树状数组来表示一个数组
用a[i]表示原数组，
d[i]=a[i]-a[i-1](a[i]视为0)
关于

的说明：

a[1]+a[2]+...+a[x]
=d[1]+(d[1]+d[2])+(d[1]+d[2]+d[3])+...+(d[1]+d[2]+...+d[x])
=d[1]*x+d[2]*(x-1)+...+d[x]*1
=sigma(1<=i<=x)(x-i+1)*d[i]
=(sigma(1<=i<=x)d[i])*(x+1)-sigma(1<=i<=x)d[i]*i
因此，可以只在树状数组中记录d[i]的前缀和还有d[i]*i的前缀和
为什么要这样做？
举个例子：
操作前：i0123456a0123456d/111111di*i/123456

将a[3]到a[5]加上2后：

i0123456a0125676d/11311-1di*i/12945-6

如上，将a[3]到a[5]都加上2，只需要将d[3]加2，d[6]减二，再修改对应d[i]*i的值即可
将a[i]到a[j]加上k，需要将d[i]加k，d[j+1]减k，d[i]*i加上k*i，d[j+1]*(j+1)减去k*(j+1)

用这种方法，区间修改只需要修改四个值就行了（因为树状数组的存储方式，实际会更多，这里指的是树状数组还原为普通数组后其中的值）
如何求和？
举个例子：
对于上面第二张表，计算sigma(2<=i<=4)a[i]:
首先sum(4)=5*6-16=14
然后sum(1)=2*1-1=1(原因见上面"关于.....的说明")
返回14-1=13
计算sigma(l<=i<=r)a[i]:
首先sum(r)=(r+1)*sigma(1<=i<=r)d[i]-sigma(1<=i<=r)i*d[i]
sum(l-1)=l*sigma(1<=i<=l-1)d[i]-sigma(1<=i<=l-1)i*d[i]
将它们相减即可

#include<cstdio>typedef long long LL;LL d1[500100],d2[500100];LL n,m;LL lowbit(LL x){return x&-x;}void add(LL pos,LL num,LL* d){while(pos<=n){d[pos]+=num;pos+=lowbit(pos);}}void plus(LL l,LL r,LL k){add(l,k,d1);add(r+1,-k,d1);add(l,k*l,d2);add(r+1,-k*(r+1),d2);}LL sum1(LL x,LL* d){LL ans=0;while(x>0){ans+=d[x];x-=lowbit(x);}return ans;}//int sum(int r)//{//return (r+1)*sum1(r,d1)-sum1(r,d2);//}LL sum(LL l,LL r){return (r+1)*sum1(r,d1)-sum1(r,d2)-l*sum1(l-1,d1)+sum1(l-1,d2);}////void print()//{//int i;//for(i=1;i<=n;i++)//printf("%d ",sum1(i,d1)-sum1(i-1,d1));//printf("\n");//for(i=1;i<=n;i++)//printf("%d ",sum1(i,d2)-sum1(i-1,d2));//printf("\n");//}int main(){LL i,a,x,y,k;scanf("%lld%lld",&n,&m);LL t1=0,t2;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&t2);add(i,t2-t1,d1);add(i,(t2-t1)*i,d2);t1=t2;}for(i=1;i<=m;i++){//print();scanf("%lld",&a);if(a==1){scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);plus(x,y,k);}else{scanf("%lld",&x);printf("%lld\n",sum(x,x));}}return 0;}