树状数组 --区间查询+区间修改
来源:互联网 发布:非常好的绘画软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/07 19:47
【问题引入】
对于区间修改、区间查询这样的简单问题,打一大堆线段树确实是不划算,今天来介绍一下区间查询+区间修改的树状数组
【一些基础】
树状数组的基本知识不再介绍,请自行百度
我们假设sigma(r,i)表示r数组的前i项和,调用一次的复杂度是log2(i)
设原数组是a[n],差分数组c[n],c[i]=a[i]-a[i-1],那么明显地a[i]=sigma(c,i),如果想要修改a[i]到a[j](比如+v),只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v
【今天的主要内容】
我们可以实现NlogN时间的“单点修改,区间查询”,“区间修改,单点查询”,其实后者就是前者的一个变形,要明白树状数组的本质就是“单点修改,区间查询”
怎么实现“区间修改,区间查询”呢?
观察式子:
a[1]+a[2]+...+a[n]
= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n])
= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]
= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n]) (式子①)
那么我们就维护一个数组c2[n],其中c2[i] = (i-1)*c[i]
每当修改c的时候,就同步修改一下c2,这样复杂度就不会改变
那么
式子①
=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)
于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询
一件很好的事情就是树状数组的常数比其他NlogN的数据结构小得多,实际上它的计算次数比NlogN要小很多,再加上它代码短,是OI中的利器
【题目】
CodeVS 1082 线段树练习3(点击)
解析:这就是个裸题
【代码】
//树状数组(升级版)#include <cstdio>#define lowbit(x) (x&-x)#define ll long long#define maxn 200010using namespace std;ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];void add(ll *r, ll pos, ll v){for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}ll sigma(ll *r, ll pos){ll ans;for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];return ans;}int main(){ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;scanf("%lld",&n);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",num+i);add(c1,i,num[i]-num[i-1]);add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));}scanf("%lld",&q);while(q--){scanf("%lld",&type);if(type==1){scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);}if(type==2){scanf("%lld%lld",&a,&b);sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);printf("%lld\n",sum2-sum1);}}return 0;}
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