HDU_【2017 Multi-University Training Contest 2】——1006 Funny Function

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题目意思

根据上图中所给的规律，求给定的m,n的时候，F(m，1)的值为多少。在求解过程中的结果会比较大。所以求解过程要对1e9+7取余。

解题思路

为了讲解方便，先将其打表：

n=2                         1   1   3   5   11  21  43   852   4   8   16  32  64  128  2566   12  24  48  96  192 384  76818  36  72  144 288 576 1152 2304n=3                         1   1   3   5    11   21    43    855   9   19  37   75   149   299   59733  65  131 261  523  1045  2091  4181229 457 915 1829 3659 7317  14635 29269n=4                         1    1    3    5     11    21    43     8510   20   40   80    160   320   640    1280150  300  600  1200  2400  4800  9600   192002250 4500 9000 18000 36000 72000 144000 288000n=5                         1      1       3       5       11      21       43       8521     41      83      165     331     661      1323     2645641    1281    2563    5125    10251   20501    41003    8200519861  39721   79443   158885  317771  635541   1271083  2542165615681 1231361 2462723 4925445 9850891 19701781 39403563 78807125

要求的是F（m,1），则肯定与上边的结果有关系，数据量过大，肯定是没有办法循环得到结果，由此看出，这道题肯定有规律。

当n为奇数个偶数的时候，求F（m,1）的规律是不一样的。

- 偶数：打表可以看出当n为偶数时，从F（2,1）开始，第一列的下一个数是上一个数的k倍， 多打几组数据可以看出，k为3,15,63,255……k的规律就是2^n-1。由此看出，当n为偶数时，F(m,1) = F(2,1)*(2^n-1)^(m-2)。

- 奇数：奇数的求解过程比较复杂。当n为奇数时，可以看出，F(m-1,1)*(2^n-1)与F（m,1）之间为一个常数k。我们可以进一步通过这种关系求解出F（m,1）的值。

奇数求解过程：通过打表可以看出，当n等于3,5,7,9……的时候，k的值为2,10,42,170……可以看出之间的规律：

2 = 2^110 = 2^1+2^342 = 2^1+2^3+2^5170 = 2^1+2^3+2^5+2^7……//可以看出是等比为2^2的前k项和 

结合上边可以看出：F(m-1,1)*(2^n-1)-F(m,1) = Sk

F(m,1) = F(m-1,1)*(2^n-1)-Sk;

根据这个公式推出

算到这里，就只剩下F（2,1）的求解问题了

先打表看看n:(1~n)第一行与F（2,1）的关系

S[i]: 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691 87381 174763 349525F[i]: 1 2 5 10 21 42 85 170 341 682 1365 2730 5461 10922 21845 43690 87381 174762 349525

F(i)表示当n为i时F(2,1)的值。

当i为奇数时F[i]=s[i+1];当i为偶数时F[i]=s[i+1]-1;

其中s[i+1]=((-1)^i+2^(i+1))/3;

接下来的求解过程就只需要注意边计算边取模就行。

注意：在对除数取余的时候为了防止精度的丢失，需要用到乘法的逆元，将除法变成乘法。这里使用的乘法逆元算法为费马小定理。

费马小定理

在p是素数的情况下，对任意整数x都有x^p≡x(mod)p。

可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，x∗x^(p−2)≡1(mod p)，x^(p−2)即为逆元。

ll mult(ll a,ll n)  //求a^n%mod{    ll s=1;    while(n)    {        if(n&1)s=s*a%mod;        a=a*a%mod;        n>>=1;    }    return s;} //mult(a,n-2);

最后我们来理一下思路，其实就是一步一步往简单推公式的过程，如下图所示

代码部分

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>#include <vector>#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int mod = 1e9+7;LL n,m;LL mult(LL a,LL n){    LL ans=1;    while(n)    {        if(n&1)ans=(ans*a)%mod;        a=(a*a)%mod;        n>>=1;    }    return ans;}void solve(){    if(m==1)    {        cout<<"1"<<endl;        return;    }    LL three=mult(3,mod-2);         // 3 的逆元 费马小定理 求乘法逆元    LL one=((mult(2,n+1)+(n&1?-1:1)+mod)%mod*three)%mod;    // F[1][n+1]    if(n%2==0)        one=(one-1+mod)%mod;  // 计算 F[2][1]    LL ans=0;    LL mu=(mult(2,n)-1+mod)%mod;    // 2^n-1    LL mun=mult(mu,m-2);            // (2^n-1)^(m-2)    if(n%2==0)                      // 偶数时        ans=(one*mun)%mod;    else                            // 奇数时    {        LL cha=n/2;        cha=((2*(mult(4,cha)-1+mod)%mod)%mod)*three%mod;        LL add=((cha*(mun-1+mod)%mod)*mult((mu-1+mod)%mod,mod-2))%mod;        ans=((one*mun)%mod-add+mod)%mod;    }    cout<<ans<<endl;}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        cin>>n>>m;        solve();    }    return 0;}