漫步最优化二十一——全局收敛
来源:互联网 发布:战国史se人物数据 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 23:05
如果一个算法满足这样的性质:任意的初始点
大部分全局收敛理论处理的是保证全局收敛的环境与条件,其中一个重要的理论如下:
如果该算法的解集S与下降函数
- 所有点
xk 包含在X的紧子集中 D(xk) 满足下降函数的定义且- A的映射对S外的所有点都封闭
那么任何收敛序列
证明的第二部分非常依赖于魏尔斯特拉斯定理,如果W是紧集,那么序列
(a)因为
其中
对于任意
如果
如果
由此可得对任意
因此
即当
(b)假设
因此
另一方面
根据假设
因此
得出矛盾,因为
对于简单的情况,上面的定理说明,如果
- 算法生成的点在有限的
En 空间中 - 可以找到满足要求的下降函数
- 算法在解邻域的外边是封闭的
那么算法是全局收敛的。进一步,我们可以在有限次迭代下得到近似解,因为
定理1的推论同样非常重要:
集合
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