漫步最优化二十八——三次插值法

没有你的世界，
我会灵魂失控。
没有你的世界，
我被乌云拖着走。
没有你的世界，
我的世界一直狂风暴雨。
我不能承受没有你的世界，
因为我已经习惯有你的节奏。
其实我的愿望很小，
那就是每天看到你的微笑。
——畅宝宝的傻逼哥哥

另一个一维优化方法是三次插值法，它是基于三阶多项式

p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3

与二次插值法一样，我们需要确定系数ai使得p(x)在某些点的值以及(或者)导数与f(x)的值以及(或者)导数相等，因为三阶不等式有四个系数，所以我们需要四个等式，选择不等式的方式有许多，因此三次插值的形式也有许多。

p(x)的图像可以是图1中的任何一个，显然，p(x)有一个极大值，还有一个极小值。令p(x)的一阶导等于零，即

p′(x)=a1+2a2x+3a3x2=0

然后求解x，可以得出p(x)的极值点为

x=13a3(−a2±a22−3a1a3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√)

在极小点x¯处，p(x)的二阶导数为正，所以

p″(x¯)=2a2+6a3x¯>0

或者

x¯>−a23a3

从而可以选出p(x)对应的极小值。

如果选择的四个等式是独立的，那么多项式p(x)将是f(x)的近似。我们令

p(xi)=a0+a1xi+a2xi2+a3x3i=f(xi)

其中i=1,2,3且

p′(x1)=a1+2a2x1+3a3x21=f′(x1)

通过求解上面的等式，可以确定a1,a3为

a3a2a1=β−γθ−φ=β−θa3=f′(x1)−2a2x1−3a3x21

其中

βγθφ=f(x2)−f(x1)+f′(x1)(x1−x2)(x1−x2)2=f(x3)−f(x1)+f′(x1)(x1−x3)(x1−x3)2=2x21−x2(x1+x2)(x1−x2)=2x21−x3(x1+x3)(x1−x3)

根据这些系数值可以得出最小值x¯。

图1