[总结] 离散数学真是博大精深（一）

命题逻辑

（解释权归原作者所有，侵权必究）

1、命题及其表示

⑴命题：非真即假的陈述句。原子命题：不能分解为更简单的陈述句的命题。复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合而成的命题。真值：一个命题的真或假，简称值，真用T或1表示，假用F或0表示。由于命题只有真、假两个真值，所以命题逻辑也称二值逻辑。

⑵ 一个原子命题，一般用大写字母或带下标的大写字母，如P，Q，R…，或Pi，Qi，Ri…表示，把表示原子命题的符号，称为命题标识符，简称命题符。一个命题标识符P，如果表示一个确定的命题，则称P为原子命题常元，简称命题常元；若P只表示任意命题的位置标志，或表示不确定的命题，或以原子命题为值的变元P，就称P为原子命题变元，简称命题变元。命题变元是以命题的真值为值的变元。命题变元不是命题。将一个命题变元P用一个特定命题去代替，才能确定它的真值，这时称为对P进行指派或对P进行解释。

2、联结词

  ⑴联结词是逻辑联结词或命题联结词的简称，用它和原子命题构成复合命题。

  ⑵否定联结词：设P是一个命题，由联结词┐和命题P构成┐P，┐P为命题P的否定式复合命题。┐P读为“非P”。┐是自然语言中的“非”、“不”、“没有”等的逻辑抽象，是一个一元运算。

  ⑶合取联结词：令P和Q是两个命题，由联结词∧把P、Q连接成P∧Q，称P∧Q为P和Q的合取式复合命题，P∧Q读为“P与Q”或“P合取Q”，∧是自然语言中的“和”、“与”、“并且”、“既…又…”等的逻辑抽象，是一个二元运算。

  ⑷析取联结词：设P和Q是两个命题，由联结词∨把P、Q连接成P∨Q，称P∨Q为P和Q的析取复合命题，P∨Q读作“P或Q”或“P析取Q”，∨是自然语言中的“或”的逻辑抽象，是一个二元运算。自然语言中的“或”可表示“排斥或”，也可表示“可兼或”，∨表示的是“可兼或”。

⑸条件联结词：设P和Q是两个命题，由联结词→把P、Q连接成P→Q，称P→Q为P和Q的条件式复合命题，把P和Q分别称为P→Q的前件和后件，或者前提和结论。P→Q读作“若P，则Q”或“P条件Q”。→是自然语言中“如果…，则…”,“若…，才能…”等的逻辑抽象，是一个二元运算。

  在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句的意义，往往无法判断。但在命题中，当P为F时，无论Q为T还是为F，都规定P→Q为T，这称为“善意推定”。

⑹双条件联结词：令P和Q是两个命题，由联结词⇋把P、Q连接成P⇋Q，称P⇋Q为P和Q的双条件复合命题，P⇋Q读作“P当且仅当Q”。双条件联结词也可以用符号↔来表示。双条件联结词⇋是自然语言中的“充分必要条件”、“当且仅当”等的逻辑抽象，是一个二元运算。

⑺复合命题的真值只取决于构成它们的各原子命题的真值，而与它们的内容、含义无关，与联结词所连接的两原子命题之间是否有关系也无关。∧、∨和⇋具有对称性，而┐、→没有。

⑻各联结词真值表

P

Q

┐P

P∧Q

P∨Q

P→Q

P⇋Q

T

T

F

T

T

T

T

T

F

F

F

T

F

F

F

T

T

F

T

T

F

F

F

T

F

F

T

T

3、命题公式

  ⑴联结词、原子命题变元、圆括号可进行有限次的连接，得到许多字符串，那些有意义的字符串，称为命题逻辑中的合式公式，简称命题公式或公式。

  ⑵单个的命题常元和命题变元，统称为原子命题公式，简称原子公式。

  ⑶命题逻辑中的合式公式是由下列规则形成的字符串：原子命题公式和真值T、F都是一个合式公式；若A是合式公式，则(┐A)是合式公式；若A和B都是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(A⇋B)都是合式公式；经过有限次前三种操作得到的包含原子命题公式、联结词和圆括号的字符串都是合式公式。

  ⑷对于圆括号的使用和联结词的优先级：公式最外面的圆括号可以省略，┐只作用于邻接后的原子命题变元；联结词的优先级从高到低依次为┐、∧、∨、→、⇋。

  ⑸如果A1是公式A的一部分，且A1是一个公式，称A1是A的子公式。

  ⑹命题公式是没有真假值的，仅在一个公式中命题变元用确定的命题代入时，才得到一个命题。这个命题的真值，依赖于代换变元的那些命题的真值。而且并不是由命题变元，联结词和一些括号组成的字符串都能构成命题公式。

  ⑺把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、联结词和圆括号表示的合式公式，称为翻译，也称为符号化。

4、真值表

  ⑴对于命题公式A中每个命题变元P，任给一个指派或解释，得到一种真值的组合，称为A的一个真值指派，或称为A的一种解释。若A的指派为T，称该指派为A的成真指派或说A的解释为真。假的情况类似。

  ⑵设A为一命题公式，对其中出现的命题变元做所有可能的每一组真值指派，连同公式A的相应的真值汇列成表，称为A的真值表。

  ⑶在真值表中，命题公式真值的取值数目决定于分量的个数。n个命题变元组成的命题公式共有2^n种真值情况。

5、公式分类

  ⑴设A为一个命题公式，对A做所有可能的解释，若这些解释使得A都为真，则称A为永真式；若这些解释使得A都为假，则称A为永假式；若至少存在一种解释使得A为真，则称A为可满足式。

    永真式也称重言式，常用T表示；永假式也称为矛盾式，常用F表示，重言式必是可满足式，反之未必。

  ⑵判定给定公式是否为永真式、永假式或可满足式的问题，称为给定公式的判定问题。任何一个命题公式的解释数目总是有限的，所以命题逻辑的判定问题是可解的。判定方法有真值表法和公式推演法。

6、等价公式

  ⑴设A和B是两个命题公式，如果A、B在其任意解释下，其真值都是相同的，则称A和B是等价的，或逻辑相等，记为A B，读为A等价B，称A B为等价式。

  ⑵若A和B的真值表是相同的，则A和B等价。两公式等价，不一定含有相同的命题变元。

  ⑶⇋与 区别与联系：是逻辑联结词，属于目标语言中的符号，它出现在命题公式中， 不是逻辑联结词，属于元语句的符号，表示两个命题公式之间的一种充分必要（iff）关系，不属于这两个公式的任何一个公式中的符号。

  ⑷A B当且仅当A⇋B是永真式。

  ⑸等价式有下列性质：

    ①自反性：对任意公式A，有A A

    ②对称性：对任意公式A和B，若A B，则B A

    ③传递性：对任意公式A、B和C，若A B、B C，则A C

  ⑹基本等价式（命题定律）

    对合律：┐┐A A

    交换律：A∧B B∧A，A∨B B∨A，A⇋B B⇋A

    结合律：(A∧B)∧C A∧(B∧C)，(A∨B)∨C A∨(B∨C)，(A⇋B)⇋C A⇋(B⇋C)

    分配律：A∧(B∨C) A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C) A∨B)∧(A∨C)

    德摩根律：┐(A∧B) ┐A∨┐B，┐(A∨B) ┐A∧┐B

    等幂律：A∧A A，A∨A A

    同一律：A∧T A，A∨F A

     零律：A∧F F，A∨T T

    吸收律：A∧(A∨B) A，A∨(A∧B) A

    互补律：A∧┐A F（矛盾律），A∨┐A F（排中律）

    条件转化律：A→B ┐A∨B，A→B ┐B→┐A

    双条件式转化律：A⇋B (A→B)∧(B→A) (A∧B)∨(┐A∧┐B)，┐A⇋B ┐(A⇋B)

    输出律：(A∧B)→C A→(B→C)

    归谬论：(A→B)∧(A→┐B) ┐A

7、代入规则和替换规则

  ⑴代入规则：在一个永真式A中，任何一个原子命题变元R出现的每一处，用另一个公式代入，所得公式B仍是永真式。

  ⑵替换规则：设A1是合式公式A的子公式，若A1 B1，将A中的A1用B1替换，得到公式B，则A B。满足该定理条件的替换，称为等价替换。

  ⑶代入是对原子命题变元而言的，而替换通常可对命题公式实行；代入必须是处处代入，替换则可部分替换，也可全部替换。

8、对偶原理

  ⑴在给定的命题公式A中，若把∧和∨互换，F和T互换而得到另一个命题公式A*，则称A*为A的对偶式。显然，A也是A*的对偶式，可见，A与A*互为对偶式。

  ⑵对偶定理：设A和A*互为对偶式，P1，P2，…，Pn是出现A和A*中的原子命题变元，则┐A(P1,P2,…,Pn) A*(┐P1,┐P2,…，┐Pn)，A(┐P1,┐P2,…，┐Pn) ┐A*(P1,P2,…,Pn)

  ⑶设A和B为两个命题公式，若A B，则A* B*。

9、蕴含式

  ⑴设A和B是两个命题公式，若A→B是永真式，则称A蕴含B，记为A⇒B，称A⇒B为蕴含式，或永真条件式。

  ⑵因为A→B不是对称的，即A→B和B→A不等价。对A→B来说，B→A成为它的逆换式；┐A→┐B称为它的反换式；┐B→┐A称为它的逆反式。

  ⑶(A→B) (┐B→┐A)，(B→A) (┐A→┐B)

  ⑷→和⇒区别与联系：→是逻辑联结词，属于对象语言中的符号，是公式中的符号；而⇒不是联结词，属于元语句中的符号，表示两个公式之间的关系，不是公式中的符号。联系：A⇒B成立，其充分必要条件A→B是永真式。

  ⑸蕴含式有下列性质：

    ①自反性：即对任意公式A，有A⇒A

    ②传递性：即对任意公式A、B和C，若A⇒B，B⇒C，则A⇒C

    ③对任意公式A、B和C，若A⇒B，A⇒C，则A⇒(B∧C)

    ④对任意公式A、B和C，若A⇒B，B⇒C，则(A∨B)⇒C

  ⑹设A和B是两个命题公式，A B的充分必要条件是A⇒B且B⇒A

  ⑺蕴含式证明：真值表法；前件真推导后件真方法：设公式的前件为真，若能推导出后件也为真，则条件式是永真式，故蕴含式成立；后件假推导前件假方法：设条件式后件为假，若能推导出前件也为假，则条件式是永真式，即蕴含式成立。

  ⑻基本蕴含式

    化简式：A∧B⇒A，A∧B ⇒B

    附加式：A ⇒A∨B

    附加式变形：┐A⇒ A→B，B⇒ A→B

    化简式变形：┐(A→B) ⇒ A，┐(A→B) ⇒ ┐B

    假言推论：A∧(A→B) ⇒B

    拒取式：┐B∧(A→B) ⇒┐A

    析取三段论：┐A∧(A∨B) ⇒B

   条件三段论：(A→B)∧(B→C) ⇒A→C

   双条件三段论：(A⇋B)∧(B⇋C) ⇒A⇋C

   合取构造二难：(A→B)∧(C→D)∧(A∧C)⇒B∧D

   析取构造二难：(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒B∨D

   特别的，当B=D时，有：

   二难推论：(A→B)∧(C→B)∧(A∧C)⇒B，(A→B)∧(C→B)∧(A∨C)⇒B

   前后件附加：A→B⇒(A∨C)→(B∨C)，A→B⇒(A∧C)→(B∧C)

   合取引入：A、B⇒A∧B

10、联结词的扩充

  设P、Q是任意两个原子命题，则：

  ⑴由合取非联结词↑把 P和Q连接成P↑Q，称它为P和Q的合取非式复合命题，读为“P合取非Q”。P↑Q的真值由命题P和Q的真值确定：当且仅当P和Q均为T时，P↑Q为F，否则P↑Q为T。“合取非”又常称为”与非“。

  ⑵由析取非联结词↓把 P和Q连接成P↓Q，称它为P和Q的析取非式复合命题，读为“P析取非Q”。P↓Q的真值由命题P和Q的真值确定：当且仅当P和Q均为F时，P↓Q为T，否则P↑Q为F。“析取非”又常称为”或非“。

  ⑶由条件非联结词↛把 P和Q连接成P↛Q，称它为P和Q的条件非式复合命题，读为“P条件非Q”。P↛Q的真值由命题P和Q的真值确定：当且仅当P为T而Q均为F时，P↛Q为T，否则P↛Q为F。有时也把条件非联结词记为“ “。

⑷由双条件非联结词↮把 P和Q连接成P↮Q，称它为P和Q的双条件非式复合命题，读为“P双条件非Q”。P↮Q的真值由命题P和Q的真值确定：当且仅当P和Q的真值不同时，P↮Q为T，否则P↮Q为F。双条件非又常称为异或，也常用符号⊕或 表示。

  ⑸与非性质：P↑Q Q↑P，P↑P ┐P，(P↑Q)↑(P↑Q) Q∧P，(P↑P)↑(Q↑Q) P∨Q

  ⑹或非性质：P↓Q Q↓P，P↓P ┐P，(P↓Q)↓(P↓Q) Q∨P，(P↓P)↓(Q↓Q) P∧Q

  ⑺异或性质：P⊕Q Q⊕P，P⊕(Q⊕R) (P⊕Q)⊕R，P∧(Q⊕R) (P∧Q)⊕(P∧R)，P⊕P F，F⊕P P，T⊕P ┐P，若P⊕Q R，则Q⊕R P，P⊕P Q，且P⊕Q⊕R F

  ⑻已有9个联结词，不需要定义其他联结词。

11、联结词的功能完全组

  ⑴扩充的4个联结词能由原有5个联结词分别替代。原有的五个联结词又能由联结词组{┐，∨}或{┐，∧}取代，为了表示方便，仍经常使用联结词组{┐，∨，∧}。也就是说，用最少的几个联结词就能等价表示所有的命题公式，这便是所要定义的联结词功能完全组。

  ⑵如果G满足：由G中联结词构成的公式能等价表示任意命题公式，G中任一联结词不能用其余联结词等价表示，称G为联结词功能完全组。

  ⑶{┐，→}、{↑}、{↓}也都是联结词功能完全组，{┐，⇋}不是联结词功能完全组。

12、析取范式和合取范式

  ⑴命题变元和命题变元的否定，称为文字。如果一个文字恰为另一个文字的否定，则称它们为一对相反文字。

  ⑵设L1,L2,…,Lk都是文字，称L1∨L2∨…∨Lk为简单析取式，并称Li为析取项；L1∧L2∧…∧Lk为简单合取式，并称Li为合取项。

  ⑶一个命题变元或其否定既可以是简单合取式，也可以是简单析取式。

  ⑷简单合取式为永假式的充分必要条件：它至少含有相反文字出现。

  ⑸简单析取式为永真式的充分必要条件：它至少含有相反文字出现。

  ⑹设A1,A2,…,Am为简单合取式，称A1∨A2∨…∨Am为析取范式。

  ⑺设B1,B2,…,Bn为简单析取式，称B1∧B2∧…∧Bn为合取范式。

  ⑻对于任何一个命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。

  ⑼求范式算法：使用命题定律，消去除∧、∨和┐以外公式中出现的所有联结词；使用┐(┐P) P和德摩根律，将公式中出现的联结词┐都移到命题变元之前；利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。

  ⑽公式A为永假式的充分必要条件是A的析取范式中每个简单合取式至少包含一对相反文字。

  ⑾公式A为永真式的充分必要条件是A的合取范式中每个简单析取式至少包含一对相反文字。

  ⑿范式不唯一。

13、主析取范式和主合取范式

  ⑴在含有n个命题变元的简单合取式中，若每个命题变元及其否定不同时存在，而二者之一出现一次且仅出现一次，则称该简单合取式为小项，或布尔积。n个命题变元共形成2^n个小项。

  ⑵小项的性质：没有两个小项是等价的，即各小项的真值表都是不同的。任意两个不同的小项的合取式是永假的。所有小项的析取是永真的。每个小项只有一个成真指派，且其真值1位于主对角线上，这表明每个小项与其成真指派之间建立了一一对应关系。

  ⑶在给定公式的析取范式中，若其简单合取式都是小项，则称该范式为主析取范式。主析取范式有真值表法和公式化归法两种求法。

  ⑷任意含n个命题变元的非永假命题公式都存在与其等价的主析取范式。任意含n个命题变元的非永假命题公式，其主析取范式是唯一的。

  ⑸在n个命题变元的简单析取式中，若每个命题变元及其否定不同时存在，而二者之一出现一次且仅出现一次，则称该简单析取式为大项，或布尔和。n个命题变元共形成2^n个大项。

  ⑹大项的性质：没有两个大项是等价的、。任意两个不同的大项的析取式是永真的。所有大项的合取是永假的。每个小项只有一个解释为假，且其真值0位于主对角线上，这表明每个大项与其成假指派之间建立了一一对应关系。

  ⑺在给定公式的合取范式中，若其简单析取式都是小项，则称该范式为主合取范式。

  ⑻任意含n个命题变元的非永假命题公式都存在与其等价的主合取范式。任意含n个命题变元的非永假命题公式，其主合取范式是唯一的。

  ⑼从A的主析取范式求其主合取范式的步骤：求出A的主析取范式中没包含的小项，求出与这些小项下标相同的大项，做这些大项的合取，即为A的主合取范式。

  ⑽应用：判定公式类型；证明等价式成立。

14、命题逻辑的推理理论

  ⑴在逻辑学中，把从前提（公理或假设）出发，依据公认的推理规则，推导出一个结论的过程，称为有效推理或形式证明，所得结论称为有效结论。这里关心的不是结论的真实性，而是推理的有效性。

  ⑵设A和C是两个命题，当且仅当A→C为T时，称C是A的有效结论，或C可由A逻辑推出。

  ⑶P规则（前提引入规则）：前提在推导过程中可视需要在任何时候都可以引入使用。

    V规则（结论引入规则）：在推导过程中，前面已导出的有效结论都可作为后续推导的前提继续引入使用。

  ⑷推理常用方法：真值表法、直接证明法（演绎法）、间接证明法（反证法）。