[总结]数据结构真是博大精深（三）

数据结构学习提纲

（最终解释权归原作者所有，侵权必究）

图

1、【概念】图的定义及基本术语

⑴ 图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G=（V,E），G表示一个图，V是图G中的顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。在图中，顶点个数不能为0，但可以没有边。

⑵ 结点：图中的顶点。结点间的关系：图中的连线。无向图：图中两个顶点的连线是不带方向的边，边(v,m)表示v与w互为邻接点，或说边(v,w)依附于顶点v,w，或称边(v,w)和顶点v,w相关联。v的度：和v相关联的边的数目。有向图：图中两个顶点的连线是带方向的边（称为弧），弧可以赋予有意义的值，称为权。对于弧<v,w>，称v为弧尾，w为弧头；即顶点v邻接到顶点w，或称顶点w邻接自顶点v；或称弧<v,w>和顶点v,w相关联。v的入度：以v为弧头的弧的数目。v的出度：以v为弧尾的弧的数目。v的度：v的入度与出度之和。路径：在无向图G=（V,E）中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列（vp=vi0,vi1,vi2,…，vim=vq），其中，（vij-1,vij）∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足< vij-1,vij >∈E。路径长度：如果是无向图，路径上边的数目是路径长度；如果是有向图，弧上有权，路径长度为路径上的权值之和，弧上无权，路径上弧的数目是路径长度。简单路径：指路径序列中顶点不重复出现的路径。简单回路：指路径序列中的第一个顶点和最后一个顶点相同的路径，而其他顶点都不相同。子图：若图G=（V,E），G’=（V’,E’），如果V’包含于V，且E’包含于E，则称图G’是G的子图。

2、【概念】图的分类

 ⑴ 根据边的方向性、边上是否有权：有向图、无向图、有向网、无向网。

⑵ 根据边（弧）数e和顶点数n之间的关系可分为：无向完全图：对具有n个顶点的图，任意两个顶点vi和顶点vj都存在边（vi,vj）,边数e=n(n-1)/2。有向完全图：对具有n个顶点的图，任意两个顶点vi和顶点vj，存在弧<vi,vj>，即边（vi,vj）和边（vj,vi）都存在，弧数e=n(n-1)。稀疏图：边（弧）数e≤nlogn。稠密图：边（弧）数e>nlogn。

3、【概念】图的连通性

⑴ 无向图的连通性

   连通性：若从顶点vi和顶点vj有路径，则称vi和vj是连通的。

   连通图：图上任意两点都是连通的。

   连通分量：极大连通子图。含有极大顶点数（如果多加1个顶点，子图就不连通了）和依附于这些顶点的所有边。

⑵ 有向图的连通性

   强连通性：若从顶点vi到顶点vj有路径，从顶点vj到顶点vi也存在路径，则称vi和vj是强连通的。

   强连通图：图上任意两个顶点都是强连通的。

   强连通分量：极大强连通子图。

⑶ 生成树和生成森林

   生成树：极小连通子图，包含图中的全部顶点和连接全部顶点的n-1条边。如果多一条边，就会出现回路。如果减少一条边，则必然成为非连通的，生成树不一定唯一。

   生成森林：不连通的图中存在若干个连通分量，每个连通分量对应一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

4、【概念】图的邻接矩阵存储类型

⑴用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系，用两个整型变量存储图中的顶点数和边（弧）数。

⑵图的邻接矩阵定义：

typedef struct {VertexType vexs[Vnum];int arcs[Vnum][ Vnum]; int vexNum,arcNum;}MGraph;

网的邻接矩阵定义:

typedef struct{VertexType vexs[Vnum];WeightType arcs[Vnum][Vnum];intvexNum,arcNum; };

⑶邻接矩阵的特点：是一种顺序存储结构；二维数组arcs中的元素值描述了边的邻接关系及边上是否有权；无向图和无向网的邻接矩阵是对称矩阵，有向图和有向网的邻接矩阵不一定是对称矩阵；对于边（弧）个数较少的稀疏图，其邻接矩阵也稀疏，有较多的0，用二维数组存储邻接矩阵时存储空间利用率低。

⑷适合计算顶点的度，求一个点的所有邻接点，插入或删除一条边（弧）。不太适合顶点的插入和删除，图的遍历等。、

5、【概念】图的邻接表表示

⑴对图中每个顶点建立一个与该顶点有邻接关系的顶点单链表；用一个一维结构体数组存储顶点的值和各顶点单链表的头指针；用整型变量存储图中的顶点数和边（弧）数。

⑵邻接表便于求顶点的出度，不便于求顶点的入度，如果实际问题需要求顶点的入度，可以采用逆邻接表。

⑶typedef struct ArcNode{int adjvex;//弧指向的顶点的位置struct ArcNode * nextArc;//指向下一条弧的指针 [WeightType info;]//边上信息，可有可无}ArcNode;//邻接表的边结点

 typedef struct VertexNode{TelemType vertex;ArcNode *firstArc;}VertexNode;//表头结点类型

 typedef struct ALGraph{VertexNodeadjlist[MAX]; int vexNum,arcNum;}ALGraph;//邻接表

⑷邻接表的特点：图的邻接表的表示不是唯一的，它与邻接点的读入顺序有关；无向图邻接表中第i个单链表中结点个数为第i个顶点的度；有向图邻接表中第i个单链表中的结点个数为第i个顶点的出度，其逆邻接表中第i个单链表中结点个数为第i个结点的入度；无向图的边数为邻接表中结点个数的一半，有向图的弧数为邻接表中结点个数；邻接表是一种顺序+链式的存储结构，当图中顶点个数较多，而边比较少时，可节省大量的存储空间。

 ⑸适合计算出度，求一个顶点所有邻接点，插入删除一条边，求一个邻接点下一个邻接点。

  不太适合顶点的插入删除，顶点的入度。

6、【概念】有向图的十字链表表示

  ⑴十字链表是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表。

  ⑵typedef struct ArcBox{int tailvex,headvex;//该弧的尾和头顶点的位置 struct ArcBox *hlink, * rlink;//分别指向下一个弧头相同和弧尾相同的弧的指针域 [InfoType *info;]//该弧相关信息的指针}ArcBox; //十字链表的结点类型

   typedef structVexNode{VertexType data; ArcBox * firstin,*firstout;//分别指向该顶点第一条入弧和第一条出弧}//VexNode; //表头结点类型

   typedefstruct{VexNode xlist[MAX]; //表头向量 int vexNum,arcNum;//顶点数和弧数}OLGraph; //十字链表类型

7、【概念】无向图的邻接多重表表示

  ⑴在图的邻接表结构中，一条边依附的两个顶点在两个不同的边链表中，需要被修改两次。如果将一条边的信息用一个结点表示，会使得对边的操作更加方便。

  ⑵typedef struct Ebox{int mark;//访问标记 intivex,jvex;//该边依附的两个顶点的位置 struct Ebox *ilink,*jlink;//分别指向依附这两个顶点的下一条边 InfoType *info;//该边信息指针}EBox; //边结点类型

   typedef structVexBox{VertexType data; EBox *firstedge;//指向依附该顶点的第一条边}VerBox;//顶点结点类型

   typedef struct{VexBoxadjmulist[MAX]; int vexNum,edgeNum;//顶点数和边数}AMLGraph;//多重邻接表类型

8、【概念】图的遍历

从图的某顶点出发，按一定的搜索路径访问所有顶点，并保证每个顶点仅被访问一次。通常采用一个标记标识某顶点是否已被访问过，设辅助数组int visit[n]。分为深度优先遍历（栈）和广度优先遍历（队列）。

9、【实践】图的相关操作

创建一个邻接矩阵表示的图□ 创建一个邻接表表示的图 □ 基于邻接矩阵存储结构的连通图的深度优先遍历的递归算法 □ 基于邻接矩阵存储结构的连通图深度优先遍历的非递归算法□ 基于邻接表存储结构的连通图的深度优先遍历的递归算法 □ 基于邻接表存储结构的连通图深度优先遍历的非递归算法 □ 基于邻接矩阵存储结构的连通图广度优先遍历 □基于邻接表存储结构的连通图广度优先遍历 □ 基于邻接矩阵存储结构的非连通图的深度优先遍历 □ 基于邻接表存储结构的非连通图的深度优先遍历 □ 基于邻接矩阵存储结构的非连通图的广度优先遍历□ 基于邻接表存储结构的非连通图的广度优先遍历 □ 求一条包含图中所有顶点的简单路径（哈密尔顿问题）□ 判断图中是否存在环 □ 求无向图的顶点a到i之间的简单路径 □ 求无向图的顶点vi和vj之间的最短路径 □

10、【概念】图的生成树

生成树可以保证连通分量中的全部顶点是连通的，并且边数是最少的。连通的无向图对应一棵生成树，非连通的无向图对应生成森林。图的生成树不唯一，从不同的顶点出发可得到不同的生成树；用不同的搜索方法可得到不同的生成树，如深度优先搜索生成树、广度优先搜索生成树。

对于连通网，可能存在多棵不同的生成树，它们的共同特点是包含了图中所有的n个顶点和图中的n-1条边。在这些生成树中，必定存在一棵n-1条边的权值之和是最小的生成树，称为最小生成树。

11、【实践】最小生成树算法

普里姆算法（prim）：最小生成树不断壮大，复杂度O（n^2）,适合稠密图 □

克鲁斯卡尔算法（Kruskal）：连通分量不断合并，复杂度O（eloge）,e边数，适合稀疏图 □

12、【实践】最短路径算法

求从某个源点到其余各点的最短路径：穷举法 □ 迪杰斯特拉算法（Dijkstra）□ 

每一对顶点之间最短路径：每次以一个顶点为源点，重复执行dijkstra算法n次，T=O（n^3）□弗洛伊德算法（Floyd）,T=O(n^3)，但形式简单 □  

13、【概念】有向无环图

一个无环的有向图称为有向无环图（DAG）。

应用：有向无环图是描述含有公共子式的表达式的有效工具；有向无环图是描述一项工程或系统地进行过程控制的有效工具。 

14、【概念】拓扑排序

⑴所有的工程或者某种流程都可分为若干个小的工程或阶段，这些小的工程或阶段就称为活动。若以图中的顶点表示活动，有向边表示活动之间的优先关系，则这样的用顶点表示活动的有向图简称为AOV网。

为了保证各个活动的安排顺序是合理的，对给定的AOV网应首先判定网中是否存在环。如果存在环，则表示活动之间的关系矛盾，活动安排不合理，需重新调整。检测的办法是对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若AOV网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV网中必定不存在环。

⑵设图G是一个具有n个顶点的有向图，包含图G的所有n个顶点的一个序列是vi1,vi2…,vin，当满足下面条件时该序列称为图G的一个拓扑序列：在AOV网中，若存在一条弧<i,j>，即顶点i优先于顶点j，则在拓扑序列中顶点i一定排在顶点j的前面；对于网中原来没有优先关系的顶点i与顶点j，在拓扑序列中也建立一个先后关系，或者顶点i优先于顶点j，或者顶点j优先于i。

⑶构造拓扑序列的过程称为拓扑排序。对于任何一项工程中各个活动的安排，必须按拓扑有序序列中的顺序进行才是可行的。

⑷拓扑序列的特点：一个有向图的拓扑序列一般不唯一，有向无环图一定存在拓扑序列。

⑸拓扑排序算法：在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出，从图中删除该顶点以及以该顶点为弧尾的所有弧。

15、【实践】拓扑排序算法 □

16、【概念】关键路径

⑴AOE网是一个带权的有向无环图，其中，顶点代表事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。在AOE网中的一些活动可以并行地进行。AOE网中没有入度的顶点称为始点（源点），没有出度的顶点称为终点（汇点）。

⑵AOE网的性质：只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各项活动才能开始；只有在进入某顶点的各项活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

⑶关键活动：影响整个工期完成期限的子工程项，关键路径上的活动都是关键活动。

  关键路径：整个工程完成的最短时间，从AOE网的源点到汇点的最长路径长度。

  只有在关键活动按期完成的基础上，才能保证整个工程按期完成。

⑷假设活动ai关联的顶点为j、k，其中ve(j)、vl(k)分别为顶点j、k的最早和最迟发生时间,ee(i)、el(i)分别为活动ai的最早开始和最迟开始时间。

 事件（顶点）的最早发生时间ve(k)是指从源点开始到顶点k的最长路径长度。这个长度决定了所有从顶点k发出的活动能够开工的最早时间。即ve(k)=从源点到顶点k的最长路径长度。事件（顶点）的最迟发生时间vl(k)是指在不推迟整个工期的前提下，事件k允许的最晚发生时间，即vl(k)=从顶点k到汇点的最短路径长度。其中vl(汇点)=ve(汇点)，vl(k)=min{vl(j)-weight(<k,j>)}。

 假设第i条弧为<j,k>，则第i项活动（弧）ai的最早开始时间ee(i)，应等于事件j的最早发生时间，即ee(i)=ve(j)；假设第i条弧为<j,k>，则第i项活动（弧）ai的最晚开始时间el(i)，是指在不推迟整个工期的前提下，ai必须开始的最晚时间，即el(i)=vl(k)-weight(<j,k>)。

17、【实践】求关键路径

  输入顶点和弧的信息，建立其带入度的邻接表；计算每个顶点的入度；对其进行拓扑排序；排序过程中求顶点的ve[i]；将得到的拓扑序列进栈；按逆拓扑序列求顶点的vl[i]；计算每条弧的ee[i]和el[i]，找出ee[i]==el[i]的关键活动。□

18、【实践】相关算法设计题

 ⑴教学计划编排系统□

 ⑵基于有向无环图的表达式计算□

 ⑶已知无向图采用邻接表存储方式，写出删除边（i,j）的算法 □ 增加一个顶点的算法 □

 ⑷一家石油公司在6个地点有储油罐(a,b,c,d,e,f)，现要在这些储油罐之间建造若干输油管道，以便在这些储油罐之间调配石油，并顺带向沿途的客户供出。因为建造输油管十分昂贵，所以公司希望建造尽可能少的输油管。另一方面，每条输油管在向客户提供油时都会产生些利润，公司希望所产生的的总利润最大。由于各种原因，并非在任意两个储油罐之间都可以建造输油管，6个储油罐及它们之间可以建造的输油管如下图所示，顶点表示储油罐，边表示可能建造的输油管，边上的权表示相应输油管所产生的利润。假设每条输油管的建造费用都相同，编程实现为该公司设计最佳的建造输油管的方案（提示：将边上的利润值变成负数求最小生成树）。要求用普利姆算法和克鲁斯卡尔算法分别实现。□□

 ⑸在工程项目管理中，一个大的工程往往要分解成若干个子任务，这些子任务何时开工？何时完工？哪些子任务能够同时开工？怎样才能保证整个工期按期完成？□

图

1、【概念】图的定义及基本术语

⑴ 图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G=（V,E），G表示一个图，V是图G中的顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。在图中，顶点个数不能为0，但可以没有边。

⑵ 结点：图中的顶点。结点间的关系：图中的连线。无向图：图中两个顶点的连线是不带方向的边，边(v,m)表示v与w互为邻接点，或说边(v,w)依附于顶点v,w，或称边(v,w)和顶点v,w相关联。v的度：和v相关联的边的数目。有向图：图中两个顶点的连线是带方向的边（称为弧），弧可以赋予有意义的值，称为权。对于弧<v,w>，称v为弧尾，w为弧头；即顶点v邻接到顶点w，或称顶点w邻接自顶点v；或称弧<v,w>和顶点v,w相关联。v的入度：以v为弧头的弧的数目。v的出度：以v为弧尾的弧的数目。v的度：v的入度与出度之和。路径：在无向图G=（V,E）中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列（vp=vi0,vi1,vi2,…，vim=vq），其中，（vij-1,vij）∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足< vij-1,vij >∈E。路径长度：如果是无向图，路径上边的数目是路径长度；如果是有向图，弧上有权，路径长度为路径上的权值之和，弧上无权，路径上弧的数目是路径长度。简单路径：指路径序列中顶点不重复出现的路径。简单回路：指路径序列中的第一个顶点和最后一个顶点相同的路径，而其他顶点都不相同。子图：若图G=（V,E），G’=（V’,E’），如果V’包含于V，且E’包含于E，则称图G’是G的子图。

2、【概念】图的分类

 ⑴ 根据边的方向性、边上是否有权：有向图、无向图、有向网、无向网。

⑵ 根据边（弧）数e和顶点数n之间的关系可分为：无向完全图：对具有n个顶点的图，任意两个顶点vi和顶点vj都存在边（vi,vj）,边数e=n(n-1)/2。有向完全图：对具有n个顶点的图，任意两个顶点vi和顶点vj，存在弧<vi,vj>，即边（vi,vj）和边（vj,vi）都存在，弧数e=n(n-1)。稀疏图：边（弧）数e≤nlogn。稠密图：边（弧）数e>nlogn。

3、【概念】图的连通性

⑴ 无向图的连通性

   连通性：若从顶点vi和顶点vj有路径，则称vi和vj是连通的。

   连通图：图上任意两点都是连通的。

   连通分量：极大连通子图。含有极大顶点数（如果多加1个顶点，子图就不连通了）和依附于这些顶点的所有边。

⑵ 有向图的连通性

   强连通性：若从顶点vi到顶点vj有路径，从顶点vj到顶点vi也存在路径，则称vi和vj是强连通的。

   强连通图：图上任意两个顶点都是强连通的。

   强连通分量：极大强连通子图。

⑶ 生成树和生成森林

   生成树：极小连通子图，包含图中的全部顶点和连接全部顶点的n-1条边。如果多一条边，就会出现回路。如果减少一条边，则必然成为非连通的，生成树不一定唯一。

   生成森林：不连通的图中存在若干个连通分量，每个连通分量对应一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

4、【概念】图的邻接矩阵存储类型

⑴用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系，用两个整型变量存储图中的顶点数和边（弧）数。

⑵图的邻接矩阵定义：

typedef struct {VertexType vexs[Vnum];int arcs[Vnum][ Vnum]; int vexNum,arcNum;}MGraph;

网的邻接矩阵定义:

typedef struct{VertexType vexs[Vnum];WeightType arcs[Vnum][Vnum];intvexNum,arcNum; };

⑶邻接矩阵的特点：是一种顺序存储结构；二维数组arcs中的元素值描述了边的邻接关系及边上是否有权；无向图和无向网的邻接矩阵是对称矩阵，有向图和有向网的邻接矩阵不一定是对称矩阵；对于边（弧）个数较少的稀疏图，其邻接矩阵也稀疏，有较多的0，用二维数组存储邻接矩阵时存储空间利用率低。

⑷适合计算顶点的度，求一个点的所有邻接点，插入或删除一条边（弧）。不太适合顶点的插入和删除，图的遍历等。、

5、【概念】图的邻接表表示

⑴对图中每个顶点建立一个与该顶点有邻接关系的顶点单链表；用一个一维结构体数组存储顶点的值和各顶点单链表的头指针；用整型变量存储图中的顶点数和边（弧）数。

⑵邻接表便于求顶点的出度，不便于求顶点的入度，如果实际问题需要求顶点的入度，可以采用逆邻接表。

⑶typedef struct ArcNode{int adjvex;//弧指向的顶点的位置struct ArcNode * nextArc;//指向下一条弧的指针 [WeightType info;]//边上信息，可有可无}ArcNode;//邻接表的边结点

 typedef struct VertexNode{TelemType vertex;ArcNode *firstArc;}VertexNode;//表头结点类型

 typedef struct ALGraph{VertexNodeadjlist[MAX]; int vexNum,arcNum;}ALGraph;//邻接表

⑷邻接表的特点：图的邻接表的表示不是唯一的，它与邻接点的读入顺序有关；无向图邻接表中第i个单链表中结点个数为第i个顶点的度；有向图邻接表中第i个单链表中的结点个数为第i个顶点的出度，其逆邻接表中第i个单链表中结点个数为第i个结点的入度；无向图的边数为邻接表中结点个数的一半，有向图的弧数为邻接表中结点个数；邻接表是一种顺序+链式的存储结构，当图中顶点个数较多，而边比较少时，可节省大量的存储空间。

 ⑸适合计算出度，求一个顶点所有邻接点，插入删除一条边，求一个邻接点下一个邻接点。

  不太适合顶点的插入删除，顶点的入度。

6、【概念】有向图的十字链表表示

  ⑴十字链表是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表。

  ⑵typedef struct ArcBox{int tailvex,headvex;//该弧的尾和头顶点的位置 struct ArcBox *hlink, * rlink;//分别指向下一个弧头相同和弧尾相同的弧的指针域 [InfoType *info;]//该弧相关信息的指针}ArcBox; //十字链表的结点类型

   typedef structVexNode{VertexType data; ArcBox * firstin,*firstout;//分别指向该顶点第一条入弧和第一条出弧}//VexNode; //表头结点类型

   typedefstruct{VexNode xlist[MAX]; //表头向量 int vexNum,arcNum;//顶点数和弧数}OLGraph; //十字链表类型

7、【概念】无向图的邻接多重表表示

  ⑴在图的邻接表结构中，一条边依附的两个顶点在两个不同的边链表中，需要被修改两次。如果将一条边的信息用一个结点表示，会使得对边的操作更加方便。

  ⑵typedef struct Ebox{int mark;//访问标记 intivex,jvex;//该边依附的两个顶点的位置 struct Ebox *ilink,*jlink;//分别指向依附这两个顶点的下一条边 InfoType *info;//该边信息指针}EBox; //边结点类型

   typedef structVexBox{VertexType data; EBox *firstedge;//指向依附该顶点的第一条边}VerBox;//顶点结点类型

   typedef struct{VexBoxadjmulist[MAX]; int vexNum,edgeNum;//顶点数和边数}AMLGraph;//多重邻接表类型

8、【概念】图的遍历

从图的某顶点出发，按一定的搜索路径访问所有顶点，并保证每个顶点仅被访问一次。通常采用一个标记标识某顶点是否已被访问过，设辅助数组int visit[n]。分为深度优先遍历（栈）和广度优先遍历（队列）。

9、【实践】图的相关操作

创建一个邻接矩阵表示的图□ 创建一个邻接表表示的图 □ 基于邻接矩阵存储结构的连通图的深度优先遍历的递归算法 □ 基于邻接矩阵存储结构的连通图深度优先遍历的非递归算法□ 基于邻接表存储结构的连通图的深度优先遍历的递归算法 □ 基于邻接表存储结构的连通图深度优先遍历的非递归算法 □ 基于邻接矩阵存储结构的连通图广度优先遍历 □基于邻接表存储结构的连通图广度优先遍历 □ 基于邻接矩阵存储结构的非连通图的深度优先遍历 □ 基于邻接表存储结构的非连通图的深度优先遍历 □ 基于邻接矩阵存储结构的非连通图的广度优先遍历□ 基于邻接表存储结构的非连通图的广度优先遍历 □ 求一条包含图中所有顶点的简单路径（哈密尔顿问题）□ 判断图中是否存在环 □ 求无向图的顶点a到i之间的简单路径 □ 求无向图的顶点vi和vj之间的最短路径 □

10、【概念】图的生成树

生成树可以保证连通分量中的全部顶点是连通的，并且边数是最少的。连通的无向图对应一棵生成树，非连通的无向图对应生成森林。图的生成树不唯一，从不同的顶点出发可得到不同的生成树；用不同的搜索方法可得到不同的生成树，如深度优先搜索生成树、广度优先搜索生成树。

对于连通网，可能存在多棵不同的生成树，它们的共同特点是包含了图中所有的n个顶点和图中的n-1条边。在这些生成树中，必定存在一棵n-1条边的权值之和是最小的生成树，称为最小生成树。

11、【实践】最小生成树算法

普里姆算法（prim）：最小生成树不断壮大，复杂度O（n^2）,适合稠密图 □

克鲁斯卡尔算法（Kruskal）：连通分量不断合并，复杂度O（eloge）,e边数，适合稀疏图 □

12、【实践】最短路径算法

求从某个源点到其余各点的最短路径：穷举法 □ 迪杰斯特拉算法（Dijkstra）□ 

每一对顶点之间最短路径：每次以一个顶点为源点，重复执行dijkstra算法n次，T=O（n^3）□弗洛伊德算法（Floyd）,T=O(n^3)，但形式简单 □  

13、【概念】有向无环图

一个无环的有向图称为有向无环图（DAG）。

应用：有向无环图是描述含有公共子式的表达式的有效工具；有向无环图是描述一项工程或系统地进行过程控制的有效工具。 

14、【概念】拓扑排序

⑴所有的工程或者某种流程都可分为若干个小的工程或阶段，这些小的工程或阶段就称为活动。若以图中的顶点表示活动，有向边表示活动之间的优先关系，则这样的用顶点表示活动的有向图简称为AOV网。

为了保证各个活动的安排顺序是合理的，对给定的AOV网应首先判定网中是否存在环。如果存在环，则表示活动之间的关系矛盾，活动安排不合理，需重新调整。检测的办法是对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若AOV网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV网中必定不存在环。

⑵设图G是一个具有n个顶点的有向图，包含图G的所有n个顶点的一个序列是vi1,vi2…,vin，当满足下面条件时该序列称为图G的一个拓扑序列：在AOV网中，若存在一条弧<i,j>，即顶点i优先于顶点j，则在拓扑序列中顶点i一定排在顶点j的前面；对于网中原来没有优先关系的顶点i与顶点j，在拓扑序列中也建立一个先后关系，或者顶点i优先于顶点j，或者顶点j优先于i。

⑶构造拓扑序列的过程称为拓扑排序。对于任何一项工程中各个活动的安排，必须按拓扑有序序列中的顺序进行才是可行的。

⑷拓扑序列的特点：一个有向图的拓扑序列一般不唯一，有向无环图一定存在拓扑序列。

⑸拓扑排序算法：在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出，从图中删除该顶点以及以该顶点为弧尾的所有弧。

15、【实践】拓扑排序算法 □

16、【概念】关键路径

⑴AOE网是一个带权的有向无环图，其中，顶点代表事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。在AOE网中的一些活动可以并行地进行。AOE网中没有入度的顶点称为始点（源点），没有出度的顶点称为终点（汇点）。

⑵AOE网的性质：只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各项活动才能开始；只有在进入某顶点的各项活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

⑶关键活动：影响整个工期完成期限的子工程项，关键路径上的活动都是关键活动。

  关键路径：整个工程完成的最短时间，从AOE网的源点到汇点的最长路径长度。

  只有在关键活动按期完成的基础上，才能保证整个工程按期完成。

⑷假设活动ai关联的顶点为j、k，其中ve(j)、vl(k)分别为顶点j、k的最早和最迟发生时间,ee(i)、el(i)分别为活动ai的最早开始和最迟开始时间。

 事件（顶点）的最早发生时间ve(k)是指从源点开始到顶点k的最长路径长度。这个长度决定了所有从顶点k发出的活动能够开工的最早时间。即ve(k)=从源点到顶点k的最长路径长度。事件（顶点）的最迟发生时间vl(k)是指在不推迟整个工期的前提下，事件k允许的最晚发生时间，即vl(k)=从顶点k到汇点的最短路径长度。其中vl(汇点)=ve(汇点)，vl(k)=min{vl(j)-weight(<k,j>)}。

 假设第i条弧为<j,k>，则第i项活动（弧）ai的最早开始时间ee(i)，应等于事件j的最早发生时间，即ee(i)=ve(j)；假设第i条弧为<j,k>，则第i项活动（弧）ai的最晚开始时间el(i)，是指在不推迟整个工期的前提下，ai必须开始的最晚时间，即el(i)=vl(k)-weight(<j,k>)。

17、【实践】求关键路径

  输入顶点和弧的信息，建立其带入度的邻接表；计算每个顶点的入度；对其进行拓扑排序；排序过程中求顶点的ve[i]；将得到的拓扑序列进栈；按逆拓扑序列求顶点的vl[i]；计算每条弧的ee[i]和el[i]，找出ee[i]==el[i]的关键活动。□

18、【实践】相关算法设计题

 ⑴教学计划编排系统□

 ⑵基于有向无环图的表达式计算□

 ⑶已知无向图采用邻接表存储方式，写出删除边（i,j）的算法 □ 增加一个顶点的算法 □

 ⑷一家石油公司在6个地点有储油罐(a,b,c,d,e,f)，现要在这些储油罐之间建造若干输油管道，以便在这些储油罐之间调配石油，并顺带向沿途的客户供出。因为建造输油管十分昂贵，所以公司希望建造尽可能少的输油管。另一方面，每条输油管在向客户提供油时都会产生些利润，公司希望所产生的的总利润最大。由于各种原因，并非在任意两个储油罐之间都可以建造输油管，6个储油罐及它们之间可以建造的输油管如下图所示，顶点表示储油罐，边表示可能建造的输油管，边上的权表示相应输油管所产生的利润。假设每条输油管的建造费用都相同，编程实现为该公司设计最佳的建造输油管的方案（提示：将边上的利润值变成负数求最小生成树）。要求用普利姆算法和克鲁斯卡尔算法分别实现。□□

 ⑸在工程项目管理中，一个大的工程往往要分解成若干个子任务，这些子任务何时开工？何时完工？哪些子任务能够同时开工？怎样才能保证整个工期按期完成？□