最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)

最小生成树：

一个有n个结点的连通图的生成树，是原图的极小连通子图，包含原图放入所有结点，并且保持图连通的最小的边。求最小生成树可以用Kruskal(克鲁斯卡尔)算法和Prim(普里姆)算法求出。

Kruskal算法：

具体思路：是将每条边上的权进行排序，之后在从中选取最小的边，加入最小树的集合中。

注意：在以上的过程中得防止出现环路。可以用并查集维护。
以下图为例：

首先，建图，用一个结构体数组:

struct node{    int x;  //起点    int y;  //终点    int w;  //权重}graph[100];

之后，用并查集判断是否会产生环路：

int point[100];  //用来标记结点for(int i=1;i<=n;i++){    point[i]=i;  //先将每个结点的根节点都设为自己}

/*查找*/int find(int n){    if(n==point[n]) return n;//返回结点的根节点    find(point[n]);}

/*合并*/for(int i=1;i<=m;i++){    int fx = find(graph[i].x); //查找根节点    int fy = find(graph[i].y); //查找根节点    //若这条边的起点和终点相同，说明形成环路    if(fy!=fx){        point[fy] = fx;  //不相等，则合并(纳入最小树的集合)    }}

完整代码:

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std; const int M =100;int n; //结点数int m; //边数int point[M];  //并查集 //图的结构体数组 struct node{    int x;    //起点     int y;    //终点     int w;    //权重 }graph[M];//并查集：查找 int find(int x){    if(point[x]==x) return x;    return find(point[x]);}int cmp(node a,node b){    return a.w<b.w;}int main(){    int sum;    while(cin>>n>>m){        for(int i=1;i<=n;i++){            point[i] = i;        }        // 建图         for(int i=1;i<=m;i++){            cin>>graph[i].x>>graph[i].y>>graph[i].w;         }        // 按照边上的权重大小排序         sort(graph+1,graph+m+1,cmp);        sum = 0;        for(int i=1;i<=m;i++){            int fx = find(graph[i].x); //集合的顶点             int fy = find(graph[i].y); //集合的顶点             //判断是否形成环路             if(fy!=fx){                sum+=graph[i].w;                point[fy] = fx;  //纳入集合             }        }        cout<<sum<<endl;  //输出最小连通图的权值的和    }    return 0;}

Prim算法

对于Prim算法,相对于Kruskal算法而言，Prim算法，适用于稠密图，即：边比较少的图。也就是说Kruskal算法比较适用于稀疏图。

具体思路：以图中的任意一个结点作为起点，逐个找到各个结点的最小权值的边(当前局部最小，达到整体最小)。来构建最小生成树。
首先，建图：

/*用一个二维数组cost[][]，建图*/for(int i=0;i<n;i++){    for(int j=0;j<n;j++){        int x,y,len;        cin>>x>>y>>len;        cost[x][y] = len;        cost[y][x] = len;    }}   

核心代码：

int Prim(int m){    int sum=0,k,min;     for(int i=0;i<n;i++){        dist[i] = cost[m][i];    }    dist[m]=0;    for(int i=1;i<n;i++){        sum = 0,min = MAX;        for(int j=0;j<n;j++){             if(dist[j]&&dist[j]<min){                 min = dist[j];                 k = j;            }        }        sum += min;        dist[k] = 0;        for(int j=0;j<n;j++){            if(dist[j]&&dist[j]>cost[k][j]){                dist[j] = cost[k][j];            }        }    }    return sum;}   

完整代码：

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;const int M=100;const int MAX = 1<<30;int cost[M][M];int dist[M]; //用来记录当前所在结点，到其他结点的边上的权值int n; //结点数int m; //边数int  Prim(int m){    int i,j,k,min,sum = 0;    //初始化dist[]中的值，即：与m结点相连接的边上的权值    for(i=0;i<n;i++){        dist[i] = cost[m][i];    }    dist[m] = 0; //标记    //第一个结点，不做处理    for(i=1;i<n;i++){        min = MAX;        //找到dist[]中最小的值        for(j=0;j<n;j++){            if(dist[j]!=0&&dist[j]<min){                min = dist[j];                k = j;//记录下当前结点的位置            }        }        sum +=min;        dist[k] = 0;  //第k个结点取过了，标记为0        //更新dist[]，中的值，即：与k结点相连接的边的权值        for(j=0;j<n;j++){            if(dist[j]!=0&&dist[j]>cost[k][j]){                dist[j] = cost[k][j];            }        }    }    return sum; //返回最小连通图的边上的权值总和} int main(){    while(cin>>n>>m){        for(int i=0;i<n;i++){            for(int j=0;j<n;j++){                cost[i][j] = MAX;            }        }        for(int i=0;i<m;i++){            int x,y,len;            cin>>x>>y>>len;            cost[x][y]=len;            cost[y][x]=len;        }         //这里以v0为起点        cout<<Prim(0)<<endl;    }}