最小生成树 Prim算法 Kruskal算法

最小生成树

给定一个无向图，如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树，那么这棵树就叫做生成树，如果边上有权值，那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树。
常见的求解最小生成树的算法有Kruskal算法和Prim算法，生成树是否存在和图是否连通是等价的，所以假定图是连通的。

Prim算法

假设有一棵只包含一个顶点v的数T，然后贪心地选取T和其他顶点之间相连的最小权值的边，并把它加到T中。不断进行这个操作，就可以得到最小生成树了(可用反证法证明)

不使用Heap优化的代码

int eg[max_v][max_v];int mincost[max_v];bool used[max_v];int V;int prim(){    for(int i = 0 ; i < V ; i ++) {        used[i] = false;        mincost = INF;    }    mincost[0] = 0;    int res = 0;    while(true) {        int v = -1;        for(int i = 0 ; i < v ; i ++) {//从不属于已选边中选一个权最小的            if(!used[i]) {                if(v == -1 || mincost[i] < mincost[v]) v = i;            }        }        if(v == -1) break;        used[v] = true;        res += mincost[v];        for(int i = 0 ; i < V ; i ++) {            mincost[i] = min(mincost[i],eg[v][i]);        }    }    return res;}

prim算法也可以使用优先队列(堆)来维护，复杂度可以达到O(|E|log|V|)

Kruskal算法

按照边的权值顺序从小到大查看一遍，如果不产生圈(重边也算在内)，就把当前这条边加入到生成树中。
判断是否在一个连通分量中可以使用并查集。
整个Kruskal算法复杂度O(|E|log|V|)

struct edge {    int from,to,cost;};bool cmp(edge a,edge b){    return a.cost < b.cost;}edge eg[max_e];int v,e;int kruskal(){    sort(eg,eg+e,cmp);    init_union_find(v);    int res = 0;//最小生成树权值    for(int i = 0 ; i < e ; i ++) {        edge e = eg[i];        if(!same(e.from,e.to)) {            unite(e.from,e.to);            res += e.cost;        }    }}