HDU 6059 Kanade's trio （字典树, 2017 Multi-Univ Training Contest 3)

Problem

含 N 个数字的 A 数组，求有多少个三元组 (i,j,k) 满足 i<j<k 且 (Ai⊕Aj)<(Aj⊕Ak)

Limit

1≤T≤20

1≤∑n≤5×105

0≤Ai≤230

Idea

利用字典树维护前 k-1 个数。当前处理第 k 个数。

显然对于 k 与 i 的最高不相同位 kp 与 ip ：

当 ip=0 , kp=1 时，该最高不相同位之前的 ihigher=khigher 。则 jhigher 可以为任意数，均不对 i, k 更高位（指最高不相同位之前的高位，后同）的比较产生影响。而此时 jp 位必须为 0 才可保证不等式 (Ai⊕Aj)<(Aj⊕Ak) 成立。

当 ip=1,kp=0 时，jp 位必须为 1 ，更高位任意。

故利用数组 cnt[31][2] 统计每一位为 0 ，为 1 的有多少个（在前 K-1 个数中）。在字典树插入第 k 个数时，同时统计最高不相同位，即对于每次插入的 p 位为 num[p] (取值 0 或 1)，在同父节点对应的 1-num[p] 为根子树的所有节点均可作为 i 来寻找 j 以获取对答案的贡献。其中又仅要求 jp 与 ip (ip 值即 1-num[p]) 相同，故 jp 有 cnt[p][ 1-num[p] ] 种取值方案。

但是，同时需要注意 i 与 j 有在 A 数组的先后关系 (i<j) 需要保证。故在字典树中额外维护一个 Ext 点，记录将每次新加入的点与多少原有点可构成 i, j 关系。在后续计算贡献时去掉。

Code

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 500000 + 10;const int Node_max = N * 31;int T, n, num[30], a[N], cnt[31][2];long long ext = 0, ans;struct Node{    int nxt[2];    int cnt, ext;} Trie[Node_max];int Tsize;void calc(int tmp, long long c) {    ans += Trie[tmp].cnt * 1ll * (Trie[tmp].cnt - 1) / 2;    ext += (c-Trie[tmp].cnt) * 1ll * Trie[tmp].cnt - Trie[tmp].ext;}void Trie_insert(int idx){    int tmp = 0;    for(int i=0;i<30;i++) {        if(!Trie[tmp].nxt[ num[i] ]) {            Trie[tmp].nxt[ num[i] ] = ++Tsize;        }        if(Trie[tmp].nxt[ 1-num[i] ]) {            calc(Trie[tmp].nxt[ 1-num[i] ], cnt[i][ 1-num[i] ]);        }        tmp = Trie[tmp].nxt[ num[i] ];        Trie[tmp].cnt++;        Trie[tmp].ext += cnt[i][num[i]] - Trie[tmp].cnt;    }    return; }int main(){    scanf("%d", &T);    while(T-- && scanf("%d", &n)!=EOF)    {        memset(Trie, 0, Tsize * 16 + 16);        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));        Tsize = 0;        ans = 0;        ext = 0;        for(int i=1, tmp;i<=n;i++)        {            scanf("%d", &a[i]);            tmp = a[i];            for(int j=29;j>=0;j--) {                num[j] = tmp%2;                cnt[j][tmp%2]++;                tmp /= 2;            }            Trie_insert(i);        }        printf("%lld\n", ans + ext);    }}