[Leetcode] 327. Count of Range Sum 解题报告

题目：

Given an integer array nums, return the number of range sums that lie in [lower, upper] inclusive.
Range sum S(i, j) is defined as the sum of the elements in nums between indices i and j (i ? j), inclusive.

Note:
A naive algorithm of O(n2) is trivial. You MUST do better than that.

Example:
Given nums = [-2, 5, -1], lower = -2, upper = 2,
Return 3.
The three ranges are : [0, 0], [2, 2], [0, 2] and their respective sums are: -2, -1, 2.

思路：

1、二分搜索法：我们还记得累计求和的算法吧？如果我们用sum[i]表示数组中前i个元素的和，那么求任意区间[i, j]的和就可以通过sum[j + 1] - sum[i]在O(1)的时间内计算得到。在这道题目中我们就利用这一点。不过我们在这里不是把累计和放在普通数组vector中，而是放在一个有序数组（例如multiset）中（便于快速定界）。每次计算得到一个sum[i + 1]表示区间[0,i]的累计和，我们就将其插入到有序数组中，这样有序数组中就保存了从0开始到各个索引的区间和。假设我们现在遍历数组到了索引i，此时我们首先得到sum[i + 1]表示[0,i]的区间和，那么我们就需要检查一下哪些起始索引到i的区间的和满足lower <= sum[i + 1] - x <= upper，推导可得sum[i + 1] - upper <= x <= sum[i + 1] - lower。也就是需要求出0到哪些区间的累积和满足上面不等式。因此实际上在扫描第i个元素的时候，我们就可以得到从某个起始位置到i，其累积和在区间[lower, upper]的个数。当然在遍历完成之后，别忘了将当前的累计和加入累计数组中，以便于后续遍历的正确计算。对于二分查找树而言，计算上界和下界的时间复杂度都是O(nlogn)，所以该算法的时间复杂度是O(nlogn)，而空间复杂度则是O(n)。

2、分治法：在累积和的基础上，我们计算有多少个区间的大小落在[lower, upper]之间，一个朴素的算法就是枚举各个区间，其时间复杂度是O(n^2)。一个更好的方法是利用分治法来处理，即利用归并排序算法将数组分成左右两边，在合并左右数组之前，对于左边数组中的每一个元素，在右边数组找到一个范围，使得在这个范围中的元素与左边元素构成的区间和落在[lower, upper]之间，即在右边数组中找到两个边界，设为m，n，其中m是在右边数组中第一个使得sum[m] - sum[i] >= lower的位置，而n是第一个使得sum[n] - sum[i] > upper的位置，这样n-m就是与左边元素i所构成的位于[lower, upper]范围的区间个数。因为左右两边都是已经有序的，这样就可以避免不必要的比较（这也是为什么我们能将时间复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)的秘诀所在）。

代码：

1、插入排序法：

class Solution {public:    int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {        int res = 0;        long long sum = 0;        multiset<long long> sums;       // this multiset is sorted automatically        sums.insert(0);        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i) {            sum += nums[i];            res += distance(sums.lower_bound(sum - upper), sums.upper_bound(sum - lower));            sums.insert(sum);        }        return res;    }};

2、分治法：

class Solution {public:    int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {        int len = nums.size();        vector<long> sum(len + 1, 0);        for(int i = 0; i < len; ++i) {            sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];        }        return mergeSort(sum, lower, upper, 0, len + 1);    }private:    int mergeSort(vector<long>& sum, int lower, int upper, int low, int high) {        if(high - low <= 1) {            return 0;        }        int mid = (low + high) / 2;        int m = mid, n = mid, count = 0;        count = mergeSort(sum, lower, upper, low, mid) + mergeSort(sum, lower, upper, mid, high);        for(int i = low; i < mid; ++i) {  // for each start part in [low, mid), we get the range in [mid, high)            while(m < high && sum[m] - sum[i] < lower)  ++m;            while(n < high && sum[n] - sum[i] <= upper) ++n;            count += (n - m);        }        inplace_merge(sum.begin() + low, sum.begin() + mid, sum.begin() + high);        return count;    }};