快速沃尔什变换(FWT) 学习笔记

最近在做多校联赛的题目，发现有一道题需要用到FWT，于是我就去学了一下。膜拜一下大神,本篇博客仅对这篇博客进行一些细节上的补充。

FWT要解决的问题是

Ck=∑i⊕j=kai∗bi

其中⊕表示位运算and or xor 的其中一个

如果直接暴力枚举i和j，我们需要O(n2)的时间复杂度，但是FWT可以让这个问题在O(nlogn)的时间复杂度下解决这个问题。

它的思路有点类似于FFT，它们都是通过先做一个变换，然后直接相乘，最后逆变换得到的，而变换和逆变换的过程都是用折半、分治来完成。

以做xor的过程为例
这里用@表示卷积运算，+表示数字的加法运算，∗表示数字的乘法运算。
设A，B为一个2k的向量，如果A,B不足2^k，可以用0去补全，
设C=A@B，C也是一个2k的向量。
设tf(A)是对A做一次FWT的结果，结果也是一个2^k的向量，如果可以做FWT，需要满足的条件是：

tf(C)=tf(A)∗tf(B)

其中上面的*表示两个向量对应为相乘。

前人已经试出来了tf是一个怎么样的函数，对于xor的运算来说
当k=0是，tf(A)=tf(A)
当k>0时，tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1))

其中A0表示A0..2k−1−1（就是向量A的前2k−1维），A1表示A0..2k−1−1（就是向量A的后2k−1维），tf(A0)+tf(A1)和tf(A0)−tf(A1)是一个{2}^{k-1}的向量，而(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1))就表示把这两个相连连起来，成为一个{2}^{k}的向量。这里就是一个递归分治的过程。

下面我们就来证明当tf是上面的那个定义的时候，满足tf(C)=tf(A)∗tf(B)

首先我们需要先证明一个引理tf(A+B)=tf(A)+tf(B)
当k=0时tf(A+B)=A+B=tf(A)+tf(B)
当k>0时
tf(A+B)
=(tf(A0+B0)+tf(A1+B1),tf(A0+B0)−tf(A1+B1))
其中A0+B0 和 A1+B1是长度为{2}^{k-1},所以
原式
=(tf(A0)+tf(B0)+tf(A1)+tf(B1),tf(A0)+tf(B0)−tf(A1)−tf(B1))
=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1))+(tf(B0)+tf(B1),tf(B0)−tf(B1))
=tf(A)+tf(B)

接下来我们还要证明tf(C)=tf(A)∗tf(B)
当k=0时，tf(C)=C=A∗B=tf(A)∗tf(B)
当k>0时，
tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1))
tf(B)=(tf(B0)+tf(B1),tf(B0)−tf(B1))
tf(A)∗tf(B)
=((tf(A0)+tf(A1))∗(tf(B0)+tf(B1)),(tf(A0)−tf(A1))∗(tf(B0)−tf(B1))
暴力拆开括号
=(tf(A0)∗tf(B0)+tf(A0)∗tf(B1)+tf(A1)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1),tf(A0)∗tf(B0)−tf(A0)∗tf(B1)−tf(A1)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1))
因为tf(A0)∗tf(B0长度为2k−1，
所以tf(A0)∗tf(B0=tf(A0@B0)
所以原式
=(tf(A0@B0)+tf(A1@B1)+tf(A0@B1)+tf(A1@B0)，tf(A0@B0)+tf(A1@B1)−tf(A0@B1)−tf(A1@B0))
因为异或每个位都是独立的，而我们根据最高位是0还是1，把A和B都拆成了两部分。
所以C=(C0,C1)=(A0∗B0+A1∗B1,A0∗B1+A1∗B0)
这里表示着当C0=A0∗B0+A1∗B1表示着当A的最高位为0且B的最高位是0时，或者当A的最高位为1且B的最高位是1时，xor出来的结果最高位是0，当C1=A0∗B1+A1∗B0表示着当A的最高位为0且B的最高位是1时，或者当A的最高位为1且B的最高位是0时，xor出来的结果最高位是1
所以
tf(C)=tf(C0,C1)
=tf(A0@B0+A1@B1,A0@B1+A1@B0)
=(tf(A0@B0+A1@B1)+tf(A0@B1+A1@B0),tf(A0@B0+A1@B1)−tf(A0@B1+A1∗B0))
=(tf(A0@B0)+tfA1@B1)+tf(A0@B1)+tf(A1@B0),tf(A0@B0)+tf(A1@B1)−tf(A0@B1)−tf(A1@B0))
=(tf(A0)∗tf(B0)+tf(A0)∗tf(B1)+tf(A1)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1),tf(A0)∗tf(B0)−tf(A0)∗tf(B1)−tf(A1)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1))
=((tf(A0)+tf(A1))∗(tf(B0)+tf(B1)),(tf(A0)−tf(A1))∗(tf(B0)−tf(B1))
=tf(C)
tf函数的你函数ntf也是类似。
下面给出三种运算的tf函数和ntf函数：
xor
tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1))
utf(A)=(utf(A0+A12),(A0−A12)
and
tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A1))
utf(A)=(utf(A0)−utf(A1),utf(A1))
or
tf(A)=(tf(A0),tf(A1)+tf(A0))
utf(A)=(utf(A0),utf(A1)−utf(A0))
下面是代码

void FWT(int a[],int n)  {      for(int d=1;d<n;d<<=1)          for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)              for(int j=0;j<d;j++)              {                  int x=a[i+j],y=a[i+j+d];                  a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;                  //xor:a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;                  //and:a[i+j]=x+y;                  //or:a[i+j+d]=x+y;              }  }  void UFWT(int a[],int n)  {      for(int d=1;d<n;d<<=1)          for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)              for(int j=0;j<d;j++)              {                  int x=a[i+j],y=a[i+j+d];                  a[i+j]=1LL*(x+y)*rev%mod,a[i+j+d]=(1LL*(x-y)*rev%mod+mod)%mod;                 //rev表示2在模mod下的逆元                 //xor:a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;                  //and:a[i+j]=x-y;                  //or:a[i+j+d]=y-x;              }  }  void solve(int a[],int b[],int n)  {      FWT(a,n);      FWT(b,n);      for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;      UFWT(a,n);  }