快速沃尔什变换详解（FWT）

原文

快速沃尔什变化（FWT）介绍

能看到这篇博客的人，一定知道FWT是干什么的。（什么？你不知道？） 
没事，这里有picks讲FWT的一篇博客。先点进去看一看。 
如果你看懂了，那么恭喜你。如果你跟我一样看不懂，那么请继续往下看。

这里的A和B都是什么呢？其实它们是一个多维的向量（如果你不知道向量是什么，就把它当成数组），下标从0开始。 
其中，

A=<a0,a1,...,a2k−1> 
B=<b0,b1,...,b2k−1> 
C=A@B

这里我们定义 
A±B=<a0±b0,a1±b1,...,a2k−1±b2k−1>即对应位相加（减） 
A∗B=<a0∗b0,a1∗b1,...,a2k−1∗b2k−1>即对应位相乘 
A@B（实在找不到靠谱的符号了。。）为A和B做卷积之后得到的结果，也是一个和原来大小一样的向量。

注意到FWT做的是二进制上的位运算，所以一定要把A和B补到2的整次幂次（即不足的地方填上0）。

我们要构造一个变换tf，使得tf(A)∗tf(B)=tf(C)。这个变换的对象是一个大小为2k的向量，变换出来的结果也是一个大小为2k的向量。

就以异或举例。picks告诉我们

tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1)) 
其中A0=<a0,a1,...,a2k−1−1>,A1=<a2k−1,a2k−1+1,...,a2k−1>

即把A中的下标按照二进制最高位为0或1分成前后两部分（前面的为A0,后面的为A1），分治下去做。

分治之后得到tf(A0)和tf(A1)。然后tf(A)的前半部分(即[0,2k−1−1])为tf(A0)+tf(A1)，后半部分（即[2k−1,2k−1]）为tf(A0)−tf(A1)。（其实就是已知两个向量，把两个向量做加减运算，加的那个结果填到前一半中，减的那个结果填到后一半中）。

然而，这为什么是对的？ 
接下来我们来证明它是对的。

我要事先说明（注意不是证明）一个引理:tf(A+B)=tf(A)+tf(B)。这个东西看上去挺直观的（一点都不直观好吗。。）。这个东西可以用数学归纳法证。这里略过。。。（有时间的时候再补上）

我们看k=1的时候。 
根据定义，有 
tf(A)=<a0+a1,a0−a1> 
tf(B)=<b0+b1,b0−b1> 
tf(C)=<c0+c1,c0−c1> 
c0=a0∗b0+a1∗b1,c1=a0∗b1+a1∗b0 
自己代代看，反正代出来很神奇的的发现tf(A)∗tf(B)=tf(C)

接下来使用数学归纳法。假设对于大小都为2k(k∈N∗)的向量A和B，满足C=A@B，并且tf(A)∗tf(B)=tf(C)。 
考虑当大小为2k+1的情况。我们要证明在这种情况下，tf(A)∗tf(B)=tf(C)。

根据定义，有 
tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A0)−tf(A1)) 
tf(B)=(tf(B0)+tf(B1),tf(B0)−tf(B1)) 
tf(A)∗tf(B)=([tf(A0)+tf(A1)]∗[tf(B0)+tf(B1)],[tf(A0)−tf(A1)]∗[tf(B0)−tf(B1)]) 
暴力把式子拆开，有 
tf(A)∗tf(B)= 
(tf(A0)∗tf(B0)+tf(A0)∗tf(B1)+tf(A1)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1), 
tf(A0)∗tf(B0)+tf(A1)∗tf(B1)−tf(A0)∗tf(B1)−tf(A1)∗tf(B0)) 
注意到这里的A0,A1,B0,B1都是大小为2k的向量，符合归纳的基础。于是， 
tf(A)∗tf(B)= 
(tf(A0@B0)+tf(A0@B1)+tf(A1@B0)+tf(A1@B1), 
tf(A0@B0)+tf(A1@B1)−tf(A0@B1)−tf(A1@B0))

由于异或每一位是独立，而这里如果我们把C按照最高位为0或1分成两部分，最高位的异或和其它位不相关。 
于是有

C=(C0,C1)=(A0@B0+A1@B1,A0@B1+A1@B0) 
要证的等式右边=tf(C)=tf(C0,C1) 
=tf(A0@B0+A1@B1,A0@B1+A1@B0) 
=(tf(A0@B0+A1@B1)+tf(A0@B1+A1@B0), 
tf(A0@B0+A1@B1)−tf(A0@B1+A1@B0)) 
=(tf(A0@B0)+tf(A1@B1)+tf(A0@B1)+tf(A1@B0), 
tf(A0@B0)+tf(A1@B1)−tf(A0@B1)−tf(A1@B0))=tf(A)∗tf(B)=左边 
（抱歉我不会排版。式子长得比较丑没关系，看得懂就好） 
至此，证毕。

然而这只是一个tf，还有一个逆变换utf。这个逆变换的正确性可以用同样的方法证明，即先看k=1的情况，然后一步一步用数归推上去。 
证明方法比较简单（真的很简单），这里略过。

至于其它位运算，其证明方法与异或一致，这里不赘述。

说了这么多，其实这个证明并没有什么卵用（只是使得自己相信它是对的）。。大家还是背代码吧。。。

我的模板：

void Fwt(int *a,int n){    for (int k=1;k<=n-1;k<<=1)         for (int i=0;i<=n-1;i+=k<<1)            for (int j=0;j<=k-1;j++)            {                int x=a[i+j],y=a[i+j+k];                a[i+j]=Add(x,y);                a[i+j+k]=Dec(x,y);            }    //Add和Dec是模意义下的加减法运算 }void uFwt(int *a,int n){    for (int k=1;k<=n-1;k<<=1)         for (int i=0;i<=n-1;i+=k<<1)            for (int j=0;j<=k-1;j++)            {                int x=a[i+j],y=a[i+j+k];                a[i+j]=ll(Add(x,y))*Two%Mod;                a[i+j+k]=ll(Dec(x,y))*Two%Mod;            }    //Mod是要模的数，Two是2的乘法逆元 }
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