二分图最优匹配之KM算法

概念：完全二分图G（X∪Y，X×Y）的最大权和匹配；

ps:若集合X和集合Y不是完全二分图或集合X和集合Y的顶点个数不相等，可构造0权值的边或产生0权值的顶点；

Kuhn－Munkres算法流程：

（1）初始化可行顶标的值；

（2）用匈牙利算法寻找完备匹配；

（3）若未找到完备匹配则修改可行顶标的值；

（4）重复（2）（3）直到找到相等子图的完备匹配为止。

时间复杂度：朴素实现O（n^4），不过通过加入松弛量可以做到O（n^3）

代码：（O(n^3)）

const int N = 20, inf = 2147483647;int w[N][N], match[N], visx[N], visy[N], lack;int lx[N] = {0}, ly[N] = {0}; //顶标bool dfs(int x) {    visx[x] = true;    for (int y = 0; y < N; ++y) {        if (visy[y]) continue;        int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];        if (t==0) {            visy[y] = true;            if (match[y]==-1 || dfs(match[y])) {                linky[y] = x;                return true;            }        } else     lack = min(lack, t);     }    return false;}int km() {    memset(match, -1, sizeof(match));    for (int i = 0; i < N; ++i)        for (int j = 0; j < N; ++j)            lx[i] = max(lx[i], w[i][j]); //初始化顶标    for (int x = 0; x < N; ++x)    {        for (; ;) {            memset(visx, 0, sizeof(visx));            memset(visy, 0, sizeof(visy));            lack = inf;            if (dfs(x)) break;            for (int i = 0; i < N; ++i) {                if (visx[i]) lx[i] -= lack;                if (visy[i]) ly[i] += lack;            }        }    }    int res = 0;    for (int j = 0; j < N; ++j)        if(match[j]>-1)            res += w[match[j]][j];    return res;}