无旋treap：从好奇到入门（例题：bzoj3224 普通平衡树）

转载自ZZH大佬，原文：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7182491.html

今天我们来学习一种新的数据结构：无旋treap。它和splay一样支持区间操作，和treap一样简单易懂，同时还支持可持久化。

无旋treap的节点定义和treap一样，都要同时满足树性质和堆性质，我们还是用rand（）来实现平衡

而无旋treap与treap不同的地方，也是其核心，就是它不旋转用两个新的核心函数：merge函数（合并两棵子树）和split函数（分裂出某棵树的前k个节点，并且作为一棵树返回）

首先看merge函数，它是一个递归实现的过程，先看代码：

 1 Treap *merge(Treap *a,Treap *b) 2 { 3     if(a==null)return b; 4     if(b==null)return a; 5     pushdown(a);pushdown(b); 6     if(a->key < b->key) 7         {a->ch[1]=merge(a->ch[1],b);a->update();return a;} 8     else 9         {b->ch[0]=merge(a,b->ch[0]);b->update();return b;}10 }

对于两棵子树a和b，我们可以实现把b树合并到a树中

在合并时，我们首先看他们的根节点谁的键值比较小（我维护的是一个小根堆），并且建立对应的父子关系。

又由于平衡树的中序遍历不变，我们又要把b插在a后面，维持一个确定的中序遍历，

所以我们应该一直把a作为merge函数的前一个参数，b作为后一个参数，这个顺序不能换.

这一个确定的顺序的重要性尤其体现在后续的区间操作中。刚开始的时候可以当板子背下来，但随着打题肯定会逐渐理解。

接下来我们介绍split函数，这也是一个递归实现的过程，还是先看代码：

 1 typedef pair<Treap*,Treap*> D; 2 D split(Treap *o,int k) 3 { 4     if(o==null) return D(null,null); 5     D y;pushdown(o); 6     if(o->ch[0]->size>=k) 7         {y=split(o->ch[0],k);o->ch[0]=y.second;o->update();y.second=o;} 8     else 9         {y=split(o->ch[1],k-o->ch[0]->size-1);o->ch[1]=y.first;o->update();y.first=o;}10     return y;11 }

我们首先定义一个pair，这样做的好处是同时返回分裂出来的两棵树的根节点指针，我规定第一个是分离完成的树，第二个是剩下的原树。

然后考虑分离前k个的过程：如果o的左儿子有k个以上节点，我们显然应该去左儿子分离。

然后我们会得到分离完成的树和左儿子剩下的树，这时候把左儿子剩下的部分接回节点o，并把新的o作为分离o剩下的原树

如果左儿子节点个数不够，我们就去右儿子分离，过程是相似的，但略有不同，留给读者思考。

有了这两个函数，我们就可以用他们实现一些常用的操作了，比如：

insert=split+newnode+merge+merge

delete=split+split+merge（合并第一个split的first和第二个的second）

等等，其他操作也可以用类似的思路打出来。下面我们用一道例题实战一下。建议读者自己实现代码并充分思考后再核对标程。

3224: Tyvj 1728 普通平衡树

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB

Description

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

Input

第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

Output

对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

Sample Input

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

Sample Output

106465
84185
492737

HINT

1.n的数据范围：n<=100000

2.每个数的数据范围：[-2e9,2e9]

 

题解：

这道题本质上只比上面讲的基本操作多了两个函数：查询某个权值的排名和查询某个排名的权值

查询某个权值的排名很简单，在树中递归询问即可

而对于某个权值的排名，我们可以考虑split前k-1个节点，再对第一次split的second进行split，得到第k个节点，并且返回权值

前驱和后继只是上面这两个操作的简单变形，但稍微需要注意一下边界的处理。

代码见下：

 1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstring> 4 #include <ctime> 5 #include <cstdlib> 6 using namespace std; 7 const int maxn=100100,inf=0x7fffffff; 8 struct Treap 9 {10     Treap* ch[2];11     int key,val,size;12     Treap(int v)13         {size=1,val=v,key=rand();ch[0]=ch[1]=NULL;}14     inline void tain()15         {size=1+(ch[0]?ch[0]->size:0)+(ch[1]?ch[1]->size:0);}16 }*root;17 typedef pair<Treap*,Treap*> D;18 inline int size(Treap *o){return o?o->size:0;}19 Treap *Merge(Treap *a,Treap* b)20 {21     if(!a)return b;22     if(!b)return a;23     if(a->key < b->key)24         {a->ch[1]=Merge(a->ch[1],b);a->tain();return a;}25     else26         {b->ch[0]=Merge(a,b->ch[0]);b->tain();return b;}27 }28 D Split(Treap *o,int k)29 {30     if(!o)return D(NULL,NULL);31     D y;32     if(size(o->ch[0])>=k)33         {y=Split(o->ch[0],k);o->ch[0]=y.second;o->tain();y.second=o;}34     else35         {y=Split(o->ch[1],k-size(o->ch[0])-1);o->ch[1]=y.first;o->tain();y.first=o;}36     return y;37 }38 int Getkth(Treap *o,int v)39 {40     if(o==NULL)return 0;41     return(o->val>=v)?Getkth(o->ch[0],v):Getkth(o->ch[1],v)+size(o->ch[0])+1;42 }43 inline int Findkth(int k)44 {45     D x=Split(root,k-1);46     D y=Split(x.second,1);47     Treap *ans=y.first;48     root=Merge(Merge(x.first,ans),y.second);49     return ans!=NULL?ans->val:0;50 }51 inline void Insert(int v)52 {53     int k=Getkth(root,v);54     D x=Split(root,k);55     Treap *o=new Treap(v);56     root=Merge(Merge(x.first,o),x.second);57 }58 void Delete(int v)59 {60     int k=Getkth(root,v);61     D x=Split(root,k);62     D y=Split(x.second,1);63     root=Merge(x.first,y.second);64 }65 int main(){66     int m,opt,x;scanf("%d",&m);67     while(m--)68     {69         scanf("%d%d",&opt,&x);70         switch(opt)71         {72             case 1:Insert(x);break;73             case 2:Delete(x);break;74             case 3:printf("%d\n",Getkth(root,x)+1);break;75             case 4:printf("%d\n",Findkth(x));break;76             case 5:printf("%d\n",Findkth(Getkth(root,x)));break;77             case 6:printf("%d\n",Findkth(Getkth(root,x+1)+1));break;78         }79     }80 }