poj1284 Primitive Roots：欧拉函数+原根

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题意：

给出一个p(3<=p<65536)，求这个数有多少个原根

思路：

何为原根？
由费马小定理可知 如果a于p互质 则有a^(p-1)≡1(mod p)
对于任意的a是不是一定要到p-1次幂才会出现上述情况呢？
显然不是，当第一次出现a^k≡1(mod p)时， 记为ep（a）=k 当k=(p-1)时，称a是p的原根
每个素数恰好有f(p-1)个原根（f(x)为欧拉函数）
 
定理：对于奇素数m, 原根个数为phi(phi(m)), 由于phi(m)=m-1, 所以为phi(m-1)。
某大牛的证明：

{xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于 {xi%(p-1) | 1 <= i <= p - 1} = {0,1,2,...,p-2},即为(p-1)的完全剩余系

若x,x2...x(p-1)是(p-1)的完全剩余系,

根据定理,可以推出若gcd(x, p-1) = 1时, (1,x,...,x(p-2))也是(p-1)的完全剩余系

因为若xi != xj (mod p-1),那么x*xi != x*xj (mod p-1),与条件m矛盾,所以 xi = xj (mod p-1),

由此可以确定答案为EulerPhi(p-1)

代码

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include<iostream>#include<map>using namespace std;#define maxn  100005#define mod 9901int prime[maxn],phi[maxn];bool unprime[maxn];void Euler(){    int i,j,k = 0;    for(i = 2; i <maxn; i++)    {        if(!unprime[i])        {            prime[k++] = i;            phi[i] = i-1;//此处处理phi(p)        }        for(j = 0; j < k && prime[j]*i <maxn; j++)        {            unprime[prime[j] *i] = true;            if(i % prime[j] != 0)            {                //此处处理phi(i*p)=phi(i)*phi(p) ,p不是i的约数                //phi[prime[j]]==prime[j]-1                phi[prime[j]*i] = phi[i]*(prime[j]-1);            }            else            {                //此处处理phi(i*p),p是i的约数                phi[prime[j]*i] = phi[i]*prime[j];                break;            }        }    }}int main(){    int n;    Euler();    while(~scanf("%d",&n)){printf("%d\n",phi[phi[n]]);}    return 0;}