poj1284 Primitive Roots 原根个数

Description

We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (xⁱ mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 }. For example, the consecutive powers of 3 modulo 7 are 3, 2, 6, 4, 5, 1, and thus 3 is a primitive root modulo 7.
Write a program which given any odd prime 3 <= p < 65536 outputs the number of primitive roots modulo p.

Input

Each line of the input contains an odd prime numbers p. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each p, print a single number that gives the number of primitive roots in a single line.

Sample Input

233179

Sample Output

10824

原根的定义

原根Primitive Root。

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,那么g可以称为是P的一个原根,归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）

其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之间

则g为p的原根。

求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且当指数为P-1的时候成立

而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到.

2原根的性质

1）可以证明，如果正整数(a,m) = 1和正整数 d 满足a^d≡1(mod 7)，则 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中，当a= 3时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。

2）记δ = Ordm(a)，则a^1，……a^(δ-1)模 m 两两不同余。因此当a是模m的原根时，a^0,a^1，……a^(δ-1)构成模 m 的简化剩余系。

3）模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意正整数。

4）对正整数(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群Z/mZ的可逆元，也就是所有与 m  互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zn的一个生成元。由于Zn有 φ(m)个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ(φ(m))个，因此当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

  百度百科上的，现在也不是很懂。根据公式，对于有原根的原根个数为φ(φ(m))，因为这道题P是素数，所以答案为phi(P-1)。

#include<iostream>#include<queue>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>#include<set>#include<map>#include<vector>#include<algorithm>#define eps 1e-9#define MAXN 10000using namespace std;int P;int Euler(int n){    int i,ret=n;    for(int i=2;i*i<=n;i++){        if(n%i==0){            ret=ret-ret/i;            while(n%i==0) n/=i;        }        if(n==1) break;    }    if(n>1) ret=ret-ret/n;    return ret;}int main(){    while(scanf("%d",&P)!=EOF){        printf("%d\n",Euler(P-1));    }    return 0;}