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Magic Five

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分类：combinatorics math

1.题目描述

• 给出一个字符串a和一个整数k，表示这个字符串s是由k个a连接得到的，要求任意删除字符串s中的任意位上的字符，使得删除后的字符串表示的数能被5整除。
  
  • 题目说明所求结果可能包含前导0的情况，即5和05算两种情况。

2.解题思路

• 对于一个串，我们很容易知道对于某一位i是0或5，有2i种选法（字符串从第0位开始，第i位确定）一个串的选法也很容易求出，按顺序求出每一位的选法，加起来（设一个串有k种选法，那么对于多个串，第二个串的某一位i（对于该串的第i位），有2lens+i种选法，即2i×2lens种选法。这样的话，选法之和可以提取为k⋅2lens种选法，这样的话，m个串的选法之和可以整理为等比数列之和，等比数列公式为ai=(i−1)⋅k⋅2lens按照等比数列求和公式我们得到m个串的和Tm=1−2m⋅lens1−2lens%mod，接下来就是逆元，根据费马小定理ab≡1(%p)⇒ap−1≡1(%p)其中逆元就是ap−2。

3.AC代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define eps 1e-6#define e exp(1.0)#define pi acos(-1.0)#define fi first#define se second#define pb push_back#define mp make_pair#define SZ(x) ((int)(x).size())#define All(x) (x).begin(),(x).end()#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)#define Close() ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)#define INF 0x3f3f3f3f#define maxn 100010#define N 1111typedef vector<int> VI;typedef pair<int, int> PII;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;const int mod = 1e9 + 7;/* head */char a[maxn];ll quickpow(ll a, ll b) {    ll ans = 1;    while(b) {        if(b & 1) ans = ans * a % mod;        a = a * a % mod;        b >>= 1;    }    return ans;}int main() {#ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("in.txt", "r", stdin);    freopen("out.txt", "w", stdout);    long _begin_time = clock();#endif    ll k, cnt = 0;    scanf("%s%I64d", a, &k);    int len = strlen(a);    rep(i, 0, len)        if(a[i] == '0' || a[i] == '5')            cnt = (cnt + quickpow(2, i)) % mod;    ll x = quickpow(2, len);    ll y = quickpow(x, k);    x = ((1 - x) % mod + mod) % mod;    y = ((1 - y) % mod + mod) % mod;    printf("%lld\n", cnt * (y * quickpow(x, mod - 2) % mod) % mod);#ifndef ONLINE_JUDGE         long _end_time = clock();    printf("time = %ld ms.", _end_time - _begin_time);#endif    return 0;}