Error Back Propagation in BPNeuralNetwork及手写字体识别python版

　　神经网络这么牛掰，归功于其强大的学习能力，而神经网络模型的好坏则依赖于Error Back Propagation 算法的强力支撑，现在对其进行一下推导，知其然知其所以然~

神经网络简介

　　神经网络，顾名思义是尝试去模仿动物神经系统的一种网络模型。举个例子，如下图：

　　Zj表示单元j的输入，hj表示单元j的输出，h(Zj)表示激活函数。
　　具体的神经网络的一些优势劣势之类的就不在这里细说了，大家可以自己去看，现在重点讲一下，神经网络里面的参数调整与误差的关系，为什么叫误差后传，以及Error Back Progapation的推导核心。

Error Back Propagation

优化的目标函数

　　BPNN模型f(x;w)的好坏是用误差的期望E[(f(x;w)−y)2]来评估的。
　　这样模型最优参数的计算，就成了woptimal=minw{E[(f(x;w)−y)2]}，于是抽象为数学中的最值问题。
　　之前也有讲过，参数寻优的方法中，有借助于梯度来不断迭代找到最优参数的。详细见：http://blog.csdn.net/yujianmin1990/article/details/47461287
　　现在，也想对神经网络模型函数的参数w求导，以期望能够不断迭代w，从而得到整个模型的最优参数解。
　　不同于一般模型的是，神经网络是多层参数递进叠加到一起的，后面一层输入量与前面一层的输出量紧密联系。因此，妄图直接对所有层间的权重WL同时求偏导不是明智的做法.
　　如果前后两层间的权重偏导数存在着一点关系，岂不是很美妙，BP的设想正是基于此~
　　神经网络的最小化目标函数是：

Em=1m∑i=1mError(xi)

　　其中Error(xi)=12∑k(dk(xi)−yk(xi))2是单样本误差期望的衡量，k表示输出单元个数。
　　dk(xi)表示在预测xi时，第k个输出单元上的预测值（输出值），yk(xi)表示真实样本，在第k个输出单元的真实值。

逐层求导过程

　　1）先计算一下单个样本误差对上面图中第三层权重Wkj的偏导：
　　∂E∂W(L)kj=∂∂W(L)kj[12∑k(dk−yk)2]=(dk−yk)∗∂dk∂W(L)kj
　　　　　已知：d(L)k(zk)=h(L)k(zk)=h(∑jWkj∗h(L−1)j+b(L)k)
　　　　　=(dk−yk)∗∂h(L)k(zk)∂W(L)kj=(dk−yk)∗∂h(L)k(zk)∂zk∗∂zkW(L)kj
　　　　　=(dk−yk)∗h′(L)k(zk)∗h(L−1)j
　　2）再计算一下误差期望对上面图中第二层权重Wji的偏导：Error缩写为E
　　∂E∂W(L−1)ji=∂∂W(L−1)ji[12∑k(dk−yk)2]
　　　　　　=∑k(dk−yk)∗∂∂W(L−1)ji[h(L)k(zk)]=∑k(dk−yk)∗∂h(L)k(zk)∂zk∗∂zk∂W(L−1)ji
　　　　　　zk=∑jW(L)kjh(L−1)j(zj)+b(L)k;于是∂zk∂W(L−1)ji=W(L)kj⋅∂h(L−1)j(zj)∂zj⋅∂zj∂W(L−1)ji
　　　　　　zj=∑iW(L−1)jihL−2i(zi)+b(L−1)j;于是∂zj∂W(L−1)ji=hL−2i(zi)
　　得到最终：∂E∂W(L−1)ji=∑k(dk−yk)∗∂h(L)(zk)∂zk∗[W(L)kj⋅∂h(L−1)(zj)∂zj⋅h(L−2)i(zi)]
　　3）我们将两层参数的偏导放到一块比较异同
　　　　⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∂E∂W(L)kj=(dk−yk)∗h′(L)k∗h(L−1)j　　　　　　　　　　∂E∂W(L−1)ji=∑k(dk−yk)∗h′(L)k∗[W(L)kj⋅h′(L−1)j⋅h(L−2)i]
　　　　假设：
　　　　　　　　⎧⎩⎨δ(L)k=(dk−yk)∗h′(L)kδ(L−1)j=∑k[δ(L)kWkj]⋅h′(L−1)j将δ通过Wkj向输入的方向传递
　　　　再放到一起比较一下，则两者更像了：
　　

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∂E∂W(L)kj=δ(L)k∗h(L−1)j∂E∂W(L−1)ji=δ(L−1)j∗h(L−2)i其中,δ(L)k=(dk−yk)∗h′(L)k其中,δ(L−1)j=∑k[δ(L)kWkj]⋅h′(L−1)j
　　δ(L)k与δ(L−1)j的关系，可以明确地看到，是将后面的δ(L)经过神经网络直接往输入方向计算得到之前的δ(L−1)的。
　　对偏移b求导数，得到∂E∂b(L)k=δ(L)k；∂E∂b(L−1)j=δ(L−1)j
　　继续往下推，δ(L−2)n=∑j[δ(L−1)jWjn]⋅h′(L−2)n，可以推广到更多层。
　　这样我们看到在最后一层的误差d−y通过层间权重和h′逐层往前传递，这也是误差后传的出处。
　　4）推导规律总结：notice
　　=========================================================
　　W(L)记做第L层的权重，连接L和L+1之间的权重，b(L)作为本层计算偏移。
　　a）计算L+1层的输出误差：
　　　　a.1）δ′(L+1)={∑W(L+2)δ(L+2)h−y,后层传递过来的δ,本层直接差h−y(最后一层时)
　　　　a.2）δ(L+1)=δ′(L+1)∗h′(L+1) 乘以本层的激活函数的导数。
　　b）更新权重：ΔW(L)=h(L)∗δ(L+1) 本层输出*下层的δ。
　　c）更新偏　：Δb(L)=δ(L+1)
　　=========================================================

小结

　　1) BPNN主要是想通过参数求偏导数，然后迭代的方法寻找最优参数解。
　　　逐层求偏导，结果发现层间的权重偏导是存在逐层递进关系的。
　　2) 另，一个隐层的BPNN最好调，两个隐层的BPNN稍微难调点，三层就开始难了。
　　　代码仅附单隐层和双隐层的BPNN的参数，BP类是支持n层的。
　　
附：Error Back Propagation 对梯度加上动量优化后的伪码。
　　对所有的层2≤l≤L，设ΔW(l)，这里ΔW(l)为全零矩阵；
　　For　i=1:m，
　　　　使用反向传播算法，计算各层神经元权值的梯度矩阵?W(l)(i)；
　　　　计算ΔW(l)=ΔW(l)+?W(l)(i)；
　　(在Rumelhart的论文[1]中建议对ΔW(l)如下处理，以加快下降速度)
　　(ΔW(l):=−εΔW(l)currentIter+αΔW(l)previousIter)
　　更新权值和偏置：
　　计算W(l)=W(l)+1mΔW(l)；

参考文献

[1] Learning Representations by Back-propagating Errors 这个文章里并没有给出误差后传的样子，是不是我看得不细致啊。
[2] A Gentle Introduction to Backpropagation
[3] http://www.cnblogs.com/biaoyu/archive/2015/06/20/4591304.html

BPNN的实现对手写字体的识别，python代码实现(96%准确率)：https://github.com/jxyyjm/test_nn/blob/master/src/mine_bpnn_epoch.py
sklearn的NN代码（不是BPNN），对手写字体识别(98%准确率)：https://github.com/jxyyjm/test_nn/blob/master/src/sklearn_nn.py

#!/usr/bin/python# -*- coding:utf-8 -*## @time       : 2017-06-17## @author     : yujianmin## @reference  : http://blog.csdn.net/yujianmin1990/article/details/49935007## @what-to-do : try to make a any-layer-nn by hand (one-input-layer; any-hidden-layer; one-output-layer)from __future__ import divisionfrom __future__ import print_functionimport loggingimport numpy as npfrom sklearn import metricsfrom tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data## =========================================== ##'''== input-layer ==  |  == hidden-layer-1 == | == hidden-layer-2 == | == output-layer ==I[0]-W[0]B[0]-P[0] |  I[1]-W[1]B[1]-P[1]   |   I[2]-W[2]B[2]-P[2] |    I[3]-W[3]B[3]-P[3]E[0]-DH[0]-D[0]    |  E[1]-DH[1]-D[1]      |   E[2]-DH[2]-D[2]    |    E[3]-DH[3]-D[3]DW[0]-DB[0]        |  DW[1]-DB[1]          |   DW[2]-DB[2]        |    DW[3]-DB[3]'''#  I--input;     W--weight;               P--probabilty#  E--error;     DH-delt_active_function; D--delt#  DW--delt_W;   DB--delt_B## =========================================== ##class CMyBPNN:    def __init__(self, hidden_nodes_list=[10, 10], batch_size=100, epoch=100, lr=0.5):        self.train_data = ''        self.test_data  = ''        self.model      = ''        self.W          = []        self.B          = []        self.C          = []        self.middle_res = {}        self.lr         = lr        self.epoch      = epoch        self.batch_size = batch_size        self.layer_num  = len(hidden_nodes_list)+2        self.hidden_nodes_list = hidden_nodes_list        self.middle_res_file   = './middle.res1'    def __del__(self):        self.train_data = ''        self.test_data  = ''        self.model      = ''        self.W          = []        self.B          = []        self.C          = []        self.middle_res = {}        self.lr         = ''        self.epoch      = ''        self.batch_size = ''        self.layer_num  = ''        self.hidden_nodes_list = []        self.middle_res_file   = ''    def read_data(self):        mnist = input_data.read_data_sets('./MNIST_data', one_hot=True)        self.train_data = mnist.train        self.test_data  = mnist.test    def sigmoid(self, x):        return 1/(1+np.exp(-x))    def delt_sigmoid(self, x):        #return -np.exp(-x)/((1+np.exp(-x))**2)        return self.sigmoid(x) * (1-self.sigmoid(x))    def get_label_pred(self, pred_mat):        return np.argmax(pred_mat, axis=1)    def compute_layer_input(self, layer_num):        input = self.middle_res['layer_prob'][layer_num-1]        return np.dot(input, self.W[layer_num-1]) + self.B[layer_num-1]    def compute_layer_active(self, layer_num):        return self.sigmoid(self.middle_res['layer_input'][layer_num])    def compute_layer_delt(self, layer_num):        return self.delt_sigmoid(self.middle_res['layer_input'][layer_num])    def compute_diff(self, A, B):        if len(A) != len(B):            print ('A.shape:', A.shape, 'B.shape:', B.shape)            return False        error_mean= np.mean((A-B)**2)        if error_mean>0:            print ('(A-B)**2 = ', error_mean)            return False        else: return True    def initial_weight_parameters(self):        input_node_num  = self.train_data.images.shape[1]        output_node_num = self.train_data.labels.shape[1]        ## 构造各层W (输入, 输出) node-num-pair 的 list ##        node_num_pair   = [(input_node_num, self.hidden_nodes_list[0])]        for i in xrange(len(self.hidden_nodes_list)):            if i == len(self.hidden_nodes_list)-1: node_num_pair.append((self.hidden_nodes_list[i], output_node_num))            else: node_num_pair.append((self.hidden_nodes_list[i], self.hidden_nodes_list[i+1]))        for node_num_i, node_num_o in node_num_pair:            W = np.reshape(np.array(np.random.normal(0, 0.001, node_num_i*node_num_o)), (node_num_i, node_num_o))            B = np.array(np.random.normal(0, 0.001, node_num_o))     ## 正向时的 Bias ##            self.W.append(W)            self.B.append(B)        ## W,B,C len is self.layer_num-1 ##    def initial_middle_parameters(self):        self.middle_res['delt_W'] = [np.zeros_like(i) for i in self.W]  ## 层与层之间的连接权重       #        self.middle_res['delt_B'] = [np.zeros_like(i) for i in self.B]  ## 前向传播时的偏倚量         #        self.middle_res['layer_input'] = ['' for i in xrange(self.layer_num) ]   ## 前向传播时的每层输入       #        self.middle_res['layer_prob']  = ['' for i in xrange(self.layer_num) ]   ## 前向传播时的每层激活概率   #        self.middle_res['layer_delt']  = ['' for i in xrange(self.layer_num) ]   ## 每层误差回传时，的起始误差 #        self.middle_res['layer_wucha'] = ['' for i in xrange(self.layer_num) ]   ## 每层由后层传递过来的误差   #        self.middle_res['layer_active_delt'] = ['' for i in xrange(self.layer_num) ] ## 前向传播的激活后导数   #    def forward_propagate(self, batch_x):        ## 前向依层，计算 --> output ## 并保存中间结果 ##        ## 0-layer ====== 1-layer; ====== 2-layer; ===== output-layer ##        ## I[0]-W[0]-B[0] I[1]-W[1]-B[1]  I[2]-W[2]-B[2]         for layer_num in xrange(self.layer_num):            if layer_num == 0:                self.middle_res['layer_input'][layer_num] = batch_x                self.middle_res['layer_prob'][layer_num]  = batch_x                self.middle_res['layer_active_delt'][layer_num] = batch_x            else:                self.middle_res['layer_input'][layer_num] = self.compute_layer_input(layer_num)                self.middle_res['layer_prob'][layer_num]  = self.compute_layer_active(layer_num)                self.middle_res['layer_active_delt'][layer_num]= self.compute_layer_delt(layer_num)    def compute_output_prob(self, x):        for layer_num in xrange(self.layer_num):            if layer_num == 0:                output = x            else:                layer_num = layer_num -1                output = self.sigmoid(np.dot(output, self.W[layer_num])+self.B[layer_num])        return output    def backward_propagate(self, batch_y):        ## 后向依层，计算 --> delt ## 并保存中间结果 ##        for layer_num in xrange(self.layer_num, 0, -1):            layer_num = layer_num - 1            if layer_num == (self.layer_num -1):                self.middle_res['layer_wucha'][layer_num] = self.middle_res['layer_prob'][layer_num] - batch_y                self.middle_res['layer_delt'][layer_num]  = \                    self.middle_res['layer_wucha'][layer_num] * self.middle_res['layer_active_delt'][layer_num]            else:                self.middle_res['layer_wucha'][layer_num] = \                    np.dot(self.middle_res['layer_delt'][layer_num+1], self.W[layer_num].T)                self.middle_res['layer_delt'][layer_num]  = \                    self.middle_res['layer_wucha'][layer_num] * self.middle_res['layer_active_delt'][layer_num]                self.middle_res['delt_W'][layer_num]      = \                    np.dot(self.middle_res['layer_prob'][layer_num].T, self.middle_res['layer_delt'][layer_num+1])/self.batch_size                self.middle_res['delt_B'][layer_num]      = np.mean(self.middle_res['layer_delt'][layer_num+1], axis=0)    def update_weight(self):        # for convient, compute from input to output dir #        for layer_num in xrange(self.layer_num-1):            self.W[layer_num] -= self.lr * self.middle_res['delt_W'][layer_num]            self.B[layer_num] -= self.lr * self.middle_res['delt_B'][layer_num]    def my_bpnn(self):        self.read_data()        self.initial_weight_parameters()        self.initial_middle_parameters()        iter_num= self.epoch*int(self.train_data.images.shape[0]/self.batch_size)        for i in xrange(iter_num):            batch_x, batch_y = self.train_data.next_batch(self.batch_size)            # 1) compute predict-y            self.forward_propagate(batch_x)            # 2) compute delta-each-layer            self.backward_propagate(batch_y)            # 3) update  the par-w-B            self.update_weight()            # 4) training is doing...             if i%100 == 0:                batch_x_prob = self.middle_res['layer_prob'][self.layer_num-1]                test_x_prob  = self.compute_output_prob(self.test_data.images)                batch_acc, batch_confMat = self.compute_accuracy_confusionMat(batch_y, batch_x_prob)                test_acc,  test_confMat  = self.compute_accuracy_confusionMat(self.test_data.labels, test_x_prob)                print ('epoch:', round(i/self.train_data.images.shape[0], 1), 'iter:', i, 'train_batch_accuracy:', batch_acc, 'test_accuracy', test_acc)    def save_middle_res(self, string_head):        handle_w = open(self.middle_res_file, 'aw')        for k, v in self.middle_res.iteritems():            handle_w.write(str(string_head)+'\n')            handle_w.write(str(k)+'\n')            if isinstance(v, list):                num = 0                for i in v:                    try: shape = i.shape                    except: shape = '0'                    handle_w.write('v['+str(num)+'],'+str(shape)+'\n')                    handle_w.write(str(i)+'\n')                    num +=1        num = 0        for i in self.W:            try: shape = i.shape            except: shape = '0'            handle_w.write('W['+str(num)+'],'+str(shape)+'\n')            handle_w.write(str(i)+'\n')            num +=1        num = 0        for i in self.B:            try: shape = i.shape            except: shape = '0'            handle_w.write('B['+str(num)+'],'+str(shape)+'\n')            handle_w.write(str(i)+'\n')            num +=1        handle_w.close()    def print_para_shape(self):        for k, v in self.middle_res.iteritems():            str_save = ''            if isinstance(v, list):                num = 0                for i in v:                    try: shape = i.shape                    except: shape = '0'                    str_save += str(k) +'  v['+str(num)+'],'+str(shape)+'\t|\t'                    num +=1            else: str_save = str(k)+':'+str(v)            print (str_save.strip('|\t'))        num = 0; str_save = ''        for i in self.W:            try: shape = i.shape            except: shape = '0'            str_save += 'W['+str(num)+'],'+str(shape)+'\t|\t'            num +=1        print (str_save.strip('|\t'))        num = 0; str_save = ''        for i in self.B:            try: shape = i.shape            except: shape = '0'            str_save += 'B['+str(num)+'],'+str(shape)+'\t|\t'            num +=1        print (str_save.strip('|\t'))    def compute_accuracy_confusionMat(self, real_mat, pred_mat):        pred_label= self.get_label_pred(pred_mat)        real_label= self.get_label_pred(real_mat)        accuracy  = metrics.accuracy_score(real_label, pred_label)        confu_mat = metrics.confusion_matrix(real_label, pred_label, np.unique(real_label))        return accuracy, confu_matif __name__=='__main__':    CTest = CMyBPNN(hidden_nodes_list=[128], batch_size=100, epoch=100, lr=0.5)    CTest.my_bpnn()    # epoch: 100  iter: 549800 train_batch_accuracy: 0.98 test_accuracy 0.9717 # [100], batch_size=100, lr=0.05 #    # epoch: 3    iter: 201500 train_batch_accuracy: 1.0  test_accuracy 0.9788 # [100], batch_size=100, lr=0.5  #    #CTest = CMyBPNN(hidden_nodes_list=[250, 100], batch_size=150, epoch=50, lr=2.0)    #CTest.my_bpnn() ## 两层以上hidden-layer就不是特别好调了 ##    # epoch: 50 iter: 54900 train_batch_accuracy: 1.0 test_accuracy 0.9796 # [250, 100], batch_size=50, lr==2.0 #