POJ 2002 Squares 哈希

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大致题意：

有一堆平面散点集，任取四个点，求能组成正方形的不同组合方式有多少。

相同的四个点，不同顺序构成的正方形视为同一正方形。

 

解题思路：

做本题数学功底要很强= =

 

直接四个点四个点地枚举肯定超时的，不可取。

普遍的做法是：先枚举两个点，通过数学公式得到另外2个点，使得这四个点能够成正方形。然后检查散点集中是否存在计算出来的那两个点，若存在，说明有一个正方形。

但这种做法会使同一个正方形按照不同的顺序被枚举了四次，因此最后的结果要除以4.

 

已知： (x1,y1)  (x2,y2)

则：   x3=x1+(y1-y2)   y3= y1-(x1-x2)

x4=x2+(y1-y2)   y4= y2-(x1-x2)

或

x3=x1-(y1-y2)   y3= y1+(x1-x2)

x4=x2-(y1-y2)   y4= y2+(x1-x2)

 

据说是利用全等三角形可以求得上面的公式

有兴趣的同学可以证明下。。。

 

再来就是利用hash[]标记散点集了

我个人推荐key值使用 平方求余法

即标记点x y时，key = (x^2+y^2)%prime

此时key值的范围为[0, prime-1] 

由于我个人的标记需求，我把公式更改为key = (x^2+y^2)%prime+1

使得key取值范围为[1, prime]，则hash[]大小为 hash[prime]

其中prime为 小于 最大区域长度（就是散点个数）n的k倍的最大素数，

即小于k*n 的最大素数 （k∈N*）

 

为了尽量达到key与地址的一一映射，k值至少为1，

当为k==1时，空间利用率最高，但地址冲突也相对较多，由于经常要为解决冲突开放寻址，使得寻找key值耗时O(1)的情况较少

当n太大时，空间利用率很低，但由于key分布很离散，地址冲突也相对较少，使得寻找键值耗时基本为O(1)的情况

提供一组不同k值的测试数据

K==1,   prime=997    1704ms

K==2,   prime=1999   1438ms

K==8,   prime=7993   1110ms

K==10,  prime=9973   1063ms

K==30,  prime=29989  1000ms

K==50,  prime=49999  1016ms

K==100, prime=99991  1000ms

 

 

 

最后解决的地址冲突的方法，这是hash的难点。我使用了 链地址法

typedef class HashTable

{

       public:

              int x,y;   //标记key值对应的x,y

              HashTable* next;  //当出现地址冲突时，开放寻址

              HashTable()  //Initial

              {

                     next=0;

              }

}Hashtable;

Hashtable* hash[prime];   //注意hash[]是指针数组，存放地址

//hash[]初始化为NULL (C++初始化为0)

 

先解释所谓的“冲突”

本题对于一组（x，y），通过一个函数hash(x，y)，其实就是上面提到的key的计算公式

key = (x^2+y^2)%prime+1

于是我们得到了一个关于x,y的key值，但是我们不能保证key与每一组的(x,y)都一一对应，即可能存在 hash(x1，y1) = hash(x2，y2) = key

 

处理方法：

(1) 当读入(x1, y1)时，若hash[key]为NULL，我们直接申请一个临时结点Hashtable* temp，记录x1,y1的信息，然后把结点temp的地址存放到hash[key]中

此后我们就可以利用key访问temp的地址，继而得到x1,y1的信息

(2) 当读入(x2, y2)时，由于hash(x1，y1) = hash(x2，y2) = key，即(x2, y2)的信息同样要存入hash[key]，但hash[key]已存有一个地址，怎么办？

注意到hash[key]所存放的temp中还有一个成员next，且next==0，由此，我们可以申请一个新结点存放x2,y2的信息，用next指向这个结点

此后我们利用key访问temp的地址时，先检查temp->x和temp->y是否为我们所需求的信息，若不是，检查next是否非空，若next非空，则检查下一结点，直至 next==0

当检查完所有next后仍然找不到所要的信息，说明信息原本就不存在

就是说hash[key]只保存第一个值为key的结点的地址，以后若出现相同key值的结点，则用前一个结点的next保存新结点的地址，其实就是一个链表

简单的图示为：

 

 

#include<iostream>#include<string>#include<cstring>#include<cstdio>const int prime=100007;using namespace std;int hash[prime+10];int next[prime+10];struct Node{int x,y;}P[prime];void insert(int x,int y,int index) //加入哈希链表中{int h=(x*x+y*y)%prime;//哈希函数就是平方和取余int u=hash[h];while(u){u=next[u];}next[index]=hash[h];hash[h]=index;}bool find(int x,int y){int h=(x*x+y*y)%prime;int u=hash[h];while(u){if(P[u].x==x&&P[u].y==y) return true;u=next[u];}return false;}int main(){//freopen("E:\\ACM\\test.txt","r",stdin);int n;while(scanf("%d",&n),n){memset(hash,0,sizeof(hash));memset(next,0,sizeof(next));for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&P[i].x,&P[i].y);insert(P[i].x,P[i].y,i);}int x3,y3,x4,y4,count=0;for(int i=1;i<=n;i++) //枚举x1,y1 x2,y2{for(int j=i+1;j<=n;j++){int x1=P[i].x,y1=P[i].y;int x2=P[j].x,y2=P[j].y;x3=x1+(y1-y2);y3=y1-(x1-x2);x4=x2+(y1-y2);   y4=y2-(x1-x2);if(find(x3,y3)&&find(x4,y4)) ++count;x3=x1-(y1-y2);y3=y1+(x1-x2);x4=x2-(y1-y2);y4= y2+(x1-x2);if(find(x3,y3)&&find(x4,y4)) ++count;}}printf("%d\n",count/4);}return 0;}