关于一个图中是否存在负环

负环的判断

第一次写博客，表示心里很慌，dalao不喜勿喷。

我第一次接触负环的判断是在一道差分约束的题目里：点击打开链接

说实话，这类题目其实都是比较裸的判负环，但是很多人就卡在负环上，有的人会用dijkstra算法（我没有试过，但听学长说判不了，只会算个错的答案出来），有的人用SPFA，但是用的BFS，于是。。。光荣的TLE了，原因就在于在判断以及之后的退出上DFS比BFS更有力，所以要用DFS，那么具体的操作呢？

先来看看正常情况（单源最短路）下的bfs版SPFA：

//h[]初始化为INF

void SPFA(){    int he=0,t=1;//手写队列，虽然queue很好用，但我还是爱手写    h[st]=0;vis[st]=true;    d[1]=st;//d[]就是队列数组    do{//这个循环干啥的应该都懂        he++;        int p=d[he];        vis[p]=false;        for(register int i=head[p];i!=-1;i=e[i].next)//我建图一般用前向星，vector版的应该是for(int j=0;j<e[sta].size();j++)        {            int v=e[i].to;//列举下一个节点            if(h[v]>h[p]+e[i].dis)//判断谁更短            {                h[v]=h[p]+e[i].dis;                if(!vis[v]){//是否访问过该节点                    d[++t]=v;//没有则入队                    vis[v]=true;//标记                }            }        }    }while(he<t);}

那么这种算法在出现了负环的情况下会如何呢？

我们就以这个有点鬼畜的环为例，假设我们搜到了a节点，继续搜b节点，因为边权为负，所以h[a]更新，那么搜b、搜c、搜d时，因为边权都是负的，那么都会更新相应节点的h值，这个时候……我们搜回a节点了，将要发生的一切，似乎就顺理成章了，死循环到天荒地老……那么要如何避免呢？

如果你用BFS，那么判定的依据是一个点入队超过n次，这个复杂度足以让你绝望了，但是如果说是DFS，判断的依据就是多次被搜到，这个解决起来就方便多了，看一看代码：

struct node{    int next;    int to;    int dis;}e[500010];

bool vis[500001],flag;//flag标记负环void add(int u,int v,int w){        e[++tot].to=v;    e[tot].next=head[u];    e[tot].dis=w;    head[u]=tot;}void dfs(int sta){vis[sta]=true;//该点访问过了if (flag)

 return;    for (int i=head[sta];i;i=e[i].next)

{         int v=e[i].to;        if (h[sta]+e[i].dis<h[v]){            h[v]=h[sta]+e[i].dis;            if (vis[v])

{                  flag=true;//重复访问一个点，负环出现，flag改变                return;            }else            dfs(v);//其实就是把队列改成相应的深搜而已        }    }vis[sta]=false;//相当于回溯return ; }

//主函数里的调用是for(int i=1;i<=n;i++){dfs(i);if(flag)  break;}

在这里有一个优化，原版的SPFA的h[]数组初始化时是赋的INF，一个极大的数，这在单源最短路是对的，但在判负环时反而会拖慢效率，所以不如把h[]初始化为0，那么只有出现负权边时才会更新并搜索，在发现负环后立马退出，极大的提升了效率，至于别的快读之类的优化就看你个人了。

有关负环我就讲这么多，推荐一些练习：洛谷P1993 P3385 poj3259

本人萌新，dalao不喜勿喷