机器学习笔记——广义线性模型(Generalized Linear Models, GLM)

本文主要参考 Andrew NG 的 CSS229 机器学习课程的 Lecture notes 1 的 Part III 部分，简单介绍广义线性模型的基本概念，以及如何从广义线性模型出发，由高斯分布、伯努利分布和多项分布，分别得到我们熟悉的线性回归、logistic回归和softmax回归模型。

1 指数族分布（The Exponential Family）

指数族分布指的是一类分布，它们的概率密度函数都可以写成如下形式：

p(y;η)=b(y)exp(ηTT(y)−a(η))

式子中各符号解释如下：

• η 称为自然参数（natural parameter）。对于线性回归和logistic回归，η 是一个实数，且假设 η=w⋅x；对于softmax回归，η 是一个向量，且假设 η(i)=wi⋅x，后面会详细介绍。
• T(y) 是充分统计量（sufficient statistic），对于线性回归、logistic回归，有T(y)=y；对于有k个类的softmax回归，T(y)=(1{y=1},1{y=2},...,1{y=k−1})T。

• a(η) 是一个对数配分函数（log partition function），e−a(η) 在式子中起到归一化的作用，保证概率密度函数在随机变量 y 上的积分为 1，在后面的推导中，可以得到 a(η) 由 w 和 x 表示的函数。

  一旦 T、a、b 确定，就可以确定一种分布，η 为参数。

  高斯分布、伯努利分布\和多项分布都属于指数族分布，下面介绍如何将它们写成指数族分布的形式，并确定其中记号的对应关系。

1.1 高斯分布

在线性回归为何选择平方损失函数的概率论解释中，就介绍过线性回归与高斯分布的关系，且推导过程中也发现线性回归最优解的求解与高斯分布的方差 σ2 无关，故此处简便起见，不妨设 σ2=1。所以高斯分布 N(μ,1) 的概率密度函数可以简写为如下：

p(y;μ)=12π‾‾‾√exp(−12(y−μ)2)=12π‾‾‾√exp(−12y2)exp(μy−12μ2)

由此可得，

b(y)ηT(y)a(η)=12π‾‾‾√exp(−y22)=μ=y=μ22=η22

1.2 伯努利分布

伯努利分布 B(ϕ) 的分布列为：

p(y;ϕ)=ϕy(1−ϕ)1−y=exp(ylogϕ+(1−y)log(1−ϕ))=exp(log(ϕ1−ϕ)y+log(1−ϕ))

由此可得，

b(y)ηT(y)a(η)=1=log(ϕ1−ϕ)⇒ϕ=11+e−η=y=−log(1−ϕ)=log(1+eη)

1.3 多项分布

搜了一下多项分布的定义，多项分布是二项分布的推广，二点分布（伯努利分布）是二项分布 n=1 的特例，Andrew NG 这里说的多项分布应该指的是 n=1 的多项分布，姑且称之为多点分布（单次随机试验有 k 种可能结果），与二点分布（单次试验只有两种结果）对应；由二点分布可推出logistic回归，由多点分布可推出softmax回归，而softmax回归也被认为是logistic回归的推广，也称为多项logistic回归。所以这里多项分布的分布列为：

p(y;ϕ)=(ϕ(1))1{y=1}(ϕ(2))1{y=2}...(ϕ(k))1{y=k}=(ϕ(1))1{y=1}(ϕ(2))1{y=2}...(ϕ(k))1−∑k−1i=11{y=i}=(ϕ(1))T(y)(1)(ϕ(2))T(y)(2)...(ϕ(k))1−∑k−1i=1T(y)(i)=exp⟮T(y)(1)log(ϕ(1))+T(y)(2)log(ϕ(2))+...+(1−∑i=1k−1T(y)(i))log(ϕ(k))⟯=exp⟮T(y)(1)logϕ(1)ϕ(k)+T(y)(2)logϕ(2)ϕ(k)+...+T(y)(k−1)logϕ(k−1)ϕ(k)+logϕ(k)⟯=exp⟮ηTT(y)−a(η)⟯

其中，

b(y)ηT(y)a(η)=1=(logϕ(1)ϕ(k),logϕ(2)ϕ(k),...,logϕ(k−1)ϕ(k))T⇒ϕ(i)=eη(i)∑k−1i=1eη(i)+1=(1{y=1},1{y=2},...,1{y=k−1})T=−logϕ(k)=log(∑i=1k−1eη(i)+1)

2 构造广义线性模型

一般地，考虑一个分类或者回归问题，我们希望将随机变量 y 的预测值表示为输入 x 的函数。对于给定 x 下 y 的条件分布，我们作如下3条假设：
1. y|x;w∼ExpFamily(η)，即当给定 x 和 w 时，随机变量 y 的分布服从某个指数族分布。
2. 已知一个 x，我们的目标是预测给定 x 下 T(y) 的条件期望，即 hypothesis 为 h(x)=E[T(y)|x]。
3. 自然参数 η 是输入 x 的线性函数，即 η=w⋅x，或者当 η 是一个向量时，η(i)=wi⋅x。

2.1 线性回归

目标变量 y∈R，假设 y|x;w∼N(μ,σ2)，有如下推导：

h(x)=E[y|x;w]=μ=η=w⋅x

其中，第一行等式由假设2得出，第二行等式由高斯分布的期望可得，第三行等式由1.1中的推导可得，第四行等式由假设3得出。

2.2 logistic回归

目标变量 y∈{0,1}，假设 y|x;w∼B(ϕ)，有如下推导：

h(x)=E[y|x;w]=ϕ=11+e−η=11+e−w⋅x

其中，第一行等式由假设2得出，第二行等式由伯努利的期望可得，第三行等式有1.2中的推导可得，第四行等式由假设3得出。

2.3 softmax回归

目标变量 y∈{1,2,...,k}，假设 y|x;w 服从多项分布，用参数 ϕ(1),ϕ(2),...,ϕ(k) 分别表示在给定 x 下输出 y=1,2,...,k 的条件概率，∑ki=1ϕ(i)=1，有如下推导：

h(x)=E[T(y)|x;w]=(ϕ(1),ϕ(2),...,ϕ(k−1))T=(exp(w1⋅x)∑k−1j=1exp(wj⋅x)+1,exp(w2⋅x)∑k−1j=1exp(wj⋅x)+1,...,exp(wk−1⋅x)∑k−1j=1exp(wj⋅x)+1)T

其中，第一行等式由假设2得出，第二行等式由多项分布的期望可得，第三行等式由1.3中推导以及假设3得出。softmax回归也也可以用极大似然估计来估计参数，用梯度下降或者牛顿法求解最优解。