伺服-视觉球和平板系统的重复和谐振控制器的比较分析（译）

A Comparative Analysis of Repetitive and Resonant Controllers to a Servo-Vision Ball and Plate System

Rafael da Silveira Castro ∗ Jeferson Vieira Flores ∗
Aur´elio Tergolina Salton ∗ Lu´ıs Fernando Alves Pereira ∗∗
∗ PUCRS - Group of Automation and Control Systems, Av. Ipiranga,
6681, 90619-900, Porto Alegre (RS), Brazil
∗∗ UFRGS - Department of Electrical Engineering, Av. Osvaldo
Aranha, 103, 90035-190, Porto Alegre (RS), Brazil
摘要：本文提出了基于内部模型原理的两种替代控制策略的比较分析：重复控制器和多谐振控制器。 所提出的实现在伺服视觉球和平衡平衡系统中经过实验的测试。本系统由可定位的平台组成，顶部具有自由滚动球体，受控变量是球位置。 考虑合成相关状态增益参数的方法是线性二次调节器方法。 实验结果比较了每个实施控制策略的稳态误差，瞬态响应和输入信号等特征。
关键词：球板系统; 内部模式原则 重复控制器 多谐振控制器 线性二次调节器。
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1.介绍

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由于对生产力和质量的要求越来越高，对动力系统的精确控制已成为一项具有挑战性和关键性的任务。 在这种情况下，最重要的问题之一是跟踪周期性参考并拒绝周期性干扰。 这种情况例如在机器人操纵器[Liuzzo和Tomei，2008]以及执行重复操作的任何机器[Pipeleers等人，2008]中得到了验证。
内部模型原理（IMP）[Francis和Wonham，1976]提供了一种追踪周期性参考并拒绝周期性干扰的解决方案。 IMP表示控制器（或工厂本身）应包含要跟踪/拒绝的信号的严格稳定和不稳定的模式。在这种情况下，谐振控制器[Chen，1999]提出了一种用于正弦振荡模式补偿的内部模型结构。重复控制器方法[Yamamoto和Hara，1988]是一种替代方法来解决这个问题，基于在正反馈环路中具有单个时间延迟元件的复数平面的虚轴上的无限模式的位置（其中延迟等于信号的基本周期）。在本工作中，跟踪周期性参考的问题涉及到离散时间系统。与连续时间相反，重复控制器的离散版本在z复平面的单位圆上等距设置有限数量的极点（其中极数等于信号周期与采样时间之间的速率）[Flores et al。，2013]。
为了合成基于IMP的控制架构，参考书目中的常见方法是考虑线性矩阵不等式（LMI）开发，以实现闭环极点的稳定放置[Salton等，2013]。 重复和谐振控制器的替代合成方法是基于系统变量能量最小化的线性二次调节器（LQR）理论[Montagner et al。，2003]。
球和平衡平衡系统是控制理论实践实验的常用工厂[Ker et al。，2007]。 它包括两个旋转自由度的平台和顶部的自由滚动球体。 目标是通过指挥负责倾斜板的致动器来调节球位置。 以前在诸如后台控制（Moarref et al。，2008），滑动模式控制[Park和Lee，2003]和自动干扰抑制控制器（ADRC）之类的球和板系统上已经实现了广泛的控制理论 ）[Duan et al。，2009]。 尽管研究的多样性，根据具有最小误差的周期性参考来跟踪球体的任务仍然是文献中少有探讨的话题。
在这项工作中，我们比较了基于IMP的理论，如重复控制器和多重共振控制器在伺服视觉球板设备中。 实施的控制器旨在调节球体位置以跟踪周期性参考。 主要目的是分析每个实施控制策略的响应特点。

2.装置说明

本节将描述本研究中使用的实验球和平板伺服视觉设备。 将介绍系统主要装置和动力学和运动学的建模。
2.1系统设备
用于实验的球和板设备（图1）配备有两台伺服电机（Hextronik HXT12K），负责以俯仰和滚动角度定向丙烯酸板。 在这个盘子的顶部有一个自由滚动的球体。 该原型机还配备有摄像头（Microsoft VX-800），可以获取系统的实时图像，用于感测板上的球X和Y位置。

图1.实验中使用的球和板系统。
所有图像处理程序和控制算法都可以在PC上的MATLAB软件中直接执行。 为了命令伺服电机，MATLAB脚本计算所需的角度，并通过串行通信将其发送到Arduino原型开发板。 该器件为执行器生成所需的PWM信号。

图2.球板X轴子系统示意图
2.2 动态模型
为了正确设计所提出的控制器，获得了系统的状态空间模型。 建模过程表示二维球和板系统作为两个单维解耦球和束系统：一个围绕X轴，另一个围绕Y轴。 图2的原理图表示X轴子系统及其相应的伺服电机。 随后的数学公式将仅针对X子系统变量进行，因为Y轴子系统呈现相同的结构。
可以通过推导下列通用表达式，使用拉格朗日形式来获得运动方程

该方法包括找到作为系统广义坐标qi及其导数的函数的拉格朗日，其中T表示系统总动能 和V表示总势能。 （1）中的术语Qi表示对qi的复合力。
球的总动能T可以通过平移动能Tt和旋转动能Tr的总和来确定。平移能量是的球体质量mB及其线速度的函数。 另一方面，旋转能量是球体转动惯量IB及其角速度的函数，根据。 给定球半径rB，可以使用等式将Tr重写为线速度的函数。
总势能V由系统中的重力决定，根据方程式，其中xB是板上的球体位置，g是重力加速度的常数，α是 板倾斜角度。
基于以前的定义，描述球体运动的关系可以从（1）得到，对于和：

由于板的工作倾斜范围很小（±15°），所以假设sin（α）≈α是有效的，以获得线性化方程。
通过关系可以将在系统上作用的力Fx建模为线性摩擦，其中fc是板和球体之间的动摩擦系数。
图2中的示意图还示出了将伺服电动机θ旋转传递到X轴子系统中的板旋转α的铰接臂。 该原型与另一个伺服电机呈现与Y轴子系统相同的机构。 通过简单的三角法，可以写出的关系，其中dm是伺服电机臂长度，dc是板中心接头和垂直臂关节之间的距离。 再次逼近正弦函数作为其参数产生线性运动学关系θ=κα，其中常数。
对于伺服电动机动力学，假设一般二阶关系，其中θr是参考伺服角度，wn是伺服电动机固有频率，ζ 是伺服电机的阻尼比。 使用上面讨论的线性运动学关系，我们还可以写出，其中是参考平板角度。
可以将系统微分方程排列在连续状态空间标准上

其中是系统状态，输入是参考平板角，y = xB表示系统输出。 矩阵A，B和C分别为：

系统动力学也可以在离散状态空间框架中表示：

离散表示的等效矩阵A和B可以使用精确离散化方法[DeCarlo，1995]，通过数值计算进行评估，其中Ts是工厂采样周期，ΦeΩ是：

使用这种方法，离散表示中的输出方程项C将等于连续格式的C。

3.控制设计

本节介绍了用于跟踪周期性参考和排除周期性干扰的离散控制系统的通用设计过程，均包含谐波含量。 在这种情况下将提出两种不同的策略：重复控制和多重共振控制。 还将提出一种与所提及的两种控制策略兼容的线性二次调节器合成程序。
3.1内部模式原则
将通用离散时间内部模型控制器（IMC）定义为

其中ξ（k）是控制器状态向量，e（k）是输出系统误差。 r（k）信号被定义为输出y（k）的参考。
根据内部模型原理（IMP）[Francis和Wonham，1976]，如果控制器或工厂包含了在线性工厂中跟踪周期性信号r（k）和/或拒绝线性工厂中的周期性干扰d（k） 要跟踪和/或拒绝信号的边缘稳定和不稳定模式。 该语句假定闭环系统是稳定的。
重复控制器的基本概念是任何周期信号可以由包括正反馈回路中的延时元件的系统产生。 在这种情况下，延迟τ的样本必须对应于参考/干扰信号的基本离散周期。 重复离散传递函数Gr（z）实现如下：

注意，Gr（z）在z复平面的单位圆上包含τ等间隔的模式[Flores等，2013]。
重复控制器Gr（z）传递函数也可以用以下定义实现到状态空间框架（4）[Freeman等人，2008]：

多谐振控制器的主要思想是产生正弦振荡动力学，用于组合感兴趣信号的基频和谐波。 为了实现离散的多谐振控制器，从连续的状态空间格式开始是方便的

这是由

注意，术语和表示参考/干扰谐波的共振动力学的组合其中基本频率w0由得出。
每个频率wh的个体共振动力学由术语F（wh）和G给出，具有以下结构[Pereira等人，2013]：

根据（4）的离散表示的等效矩阵Ac和Bc可以使用离散化技术来评估。 一个选择是应用第2节提出的离散化程序来获得植物的离散等效物。
3.2线性二次调节器综合
为了匹配稳定条件和瞬态约束，系统闭环模式可以通过线性控制规律进行排列

其中K是具有植物状态x（k）的反馈增益的向量，Kc是具有控制器状态ξ（k）的反馈增益的向量。 为了应用线性二次调节器方法来合成这些反馈增益，有必要找到并增加系统的状态空间表示。 该过程可以通过定义和扩展状态向量z（k）来完成，该向量z（k）包含植物状态和控制器状态为。
z（k）在状态空间中的增强动力学方程

用代数操作确定，得出以下定义

来自控制器模型的术语Ac和Bc可以是重复或多重共振控制器。 还要注意，A，B和C来自设备模型，根据（3）。
先前在（5）中定义的控制律也可以以随后的增强形式表示

其中增强反馈增益矢量KA被构造为

现在我们来定义一个线性二次调节器功能

其中QA惩罚增强状态z（k）上的能量，R惩罚系统输入u（k）上的能量，
增强惩罚矩阵组合植物惩罚矩阵Q和控制器罚分矩阵Qc，使得其中qi是对第i种植物状态的能量的惩罚，n是植物状态的数量。 控制器惩罚Qc矩阵被指定为，其中qci是对第i个控制器状态的能量的惩罚和m个控制器状态的数量。 最后，控制罚分定义为其中ri是对第i个控制信号的能量的惩罚，p是控制输入的数量。
最小化J [Dorato等，1995]的最佳增强反馈增益KA得到

其中P是以下离散代数Riccati方程（DARE）的解：

注意，为了找到P解，必须采用数值算法。 在这项工作中，使用MATLAB软件的函数进行计算。

4.结果

本节介绍了第2节描述的球和伺服视觉系统第3节开发的控制方法的实验实现。首先将显示所有数值设置参数和测试控制器的建议场景。 然后，实验结果将对每个实施的控制策略比较瞬态响应，稳态误差和控制输入等特性。
4.1实验装置
这项工作的重点是使球体遵循周期轨迹。 为此目的选择的参考r（k）具有表1所示特性的三角波形
表1.参考信号r（k）的特性

使用表2中关于（2）中定义的参数来构建工厂连续状态空间模型项A，B和C。 然后，将其应用于下面给出的相应离散模型项A，B和C的精确离散化方法。 考虑的采样周期为Ts = 33.8 ms，33.4 ms来自网络摄像头采集周期，距离上限处理时间为0.4 ms。

表2.模型参数

记住，植物建模过程将球和板系统表示为两个一维相同的子系统。 因此，所有实施的控制器必须被复制以控制板上的球体X和Y位置。
重复控制器矩阵Ac和Bc用参考τ的基本离散周期构建。 对于多谐振方法，对于相对于0的谐波的不同数量的谐振模式N，构造了术语Ac和Bc。 旨在验证共振模式数量的增加如何影响跟踪性能。
……….……

5.结论

这项工作为两个不同的基于IMP的控制器提供了完整的设计过程和比较分析：多谐振控制器和重复控制器。 所考虑的方法描述了将各种方面综合这些架构，从状态空间方程式到用于计算反馈增益的LQR理论。 采用伺服视觉球平衡系统对所提出的控制方法进行实际评估。 该文章介绍了应用的完整设备建模过程和设置参数。 根据实验结果，对每个实施策略进行了比较研究。分析的主要特点是稳态误差和输入控制信号