高斯消元原理

来源：互联网发布：怎么投诉淘宝卖家编辑：程序博客网时间：2024/05/22 05:37

高斯消元是用来求线性方程组的解，行列式求值，或者矩阵求逆等等。主要有两个步骤：化行阶梯形矩阵和回带。

高斯消元的时间复杂度为，以下代码中代表方程个数，代表未知数个数，数组用来判断哪些未知数是

变元，数组用来存求得的解。

代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <math.h>using namespace std;const int N = 105;int gcd(int a,int b){    return b ? gcd(b,a%b):a;}int lcm(int a,int b){    return a / gcd(a,b) * b;}/**n个方程，m个未知数，r代表当前处理的行，c代表当前处理的列*/void Gauss(int a[][N],int n,int m,int &r,int &c){    r = c = 0;    for(; r<n && c<m; r++,c++)    {        int maxi = r;        for(int i=r+1; i<n; i++)            if(abs(a[i][c]) > abs(a[maxi][c]))                maxi = i;        if(maxi != r)        {            for(int i=r; i<m+1; i++)                swap(a[r][i],a[maxi][i]);        }        if(a[r][c] == 0)        {            r--;            continue;        }        for(int i=r+1; i<n; i++)        {            if(a[i][c] != 0)            {                int x = abs(a[i][c]);                int y = abs(a[r][c]);                int LCM = lcm(x,y);//最小公倍数                int tx = LCM / x;                int ty = LCM / y;                if(a[i][c] * a[r][c] < 0)                    ty = -ty;                for(int j=c; j<m+1; j++)//主要目的是让 a[i][c]变为0                    a[i][j] = a[i][j] * tx - a[r][j] * ty;            }        }    }}int Rewind(int a[][N],int x[],bool f[],int n,int m,int r,int c){    for(int i=r; i<n; i++)        if(a[i][c] != 0)            return -1;    if(r < m)//不一定能解除全部的解    {        memset(f,1,sizeof(f));        for(int i=r-1; i>=0; i--)        {            int id = 0;            int cnt = 0;            for(int j=0; j<m; j++)            {                if(a[i][j] != 0 && f[j])                {                    cnt++;                    id = j;//这个id是指需要解的那个x                }            }            if(cnt > 1) continue;            int t = a[i][m];  //整个方程组的值            for(int j=0; j<m; j++)            {                if(a[i][j] != 0 && j != id)                    t -= a[i][j] * x[j];            }            x[id] = t / a[i][id];            f[id] = 0;//代表id这列 这个x已经被解出来了        }        return m - r;    }    for(int i=r-1; i>=0; i--)//均能解出    {        int t = a[i][c];        for(int j=i+1; j<c; j++)        {            if(a[i][j] != 0)                t -= a[i][j] * x[j];        }        if(t % a[i][i] != 0) return -2;        x[i] = t / a[i][i];    }    return 0;}void Print(int a[][N],int n,int m){    for(int i=0; i<n; i++)    {        for(int j=0; j<m+1; j++)            cout<<a[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }}int a[N][N];int x[N];bool f[N];int main(){    int n,m;    while(cin>>n>>m)    {        for(int i=0; i<n; i++)        {            for(int j=0; j<m+1; j++)                cin>>a[i][j];        }        int r,c;        Gauss(a,n,m,r,c);//转化为三角形或者是阶梯形        Rewind(a,x,f,n,m,r,c);        Print(a,n,m);        puts("");    }    return 0;}

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