8.6晚做题感悟

最近感觉树形dp练习的太少了，关于此的很多姿势还是不太会……
所以打算开始练练

题目

Description
几乎整个Byteland王国都被森林和河流所覆盖。小点的河汇聚到一起，形成了稍大点的河。就这样，所有的河水都汇聚并流进了一条大河，最后这条大河流进了大海。这条大河的入海口处有一个村庄——名叫Bytetown 在Byteland国，有n个伐木的村庄，这些村庄都座落在河边。目前在Bytetown，有一个巨大的伐木场，它处理着全国砍下的所有木料。木料被砍下后，顺着河流而被运到Bytetown的伐木场。Byteland的国王决定，为了减少运输木料的费用，再额外地建造k个伐木场。这k个伐木场将被建在其他村庄里。这些伐木场建造后，木料就不用都被送到Bytetown了，它们可以在 运输过程中第一个碰到的新伐木场被处理。显然，如果伐木场座落的那个村子就不用再付运送木料的费用了。它们可以直接被本村的伐木场处理。 注意：所有的河流都不会分叉，也就是说，每一个村子，顺流而下都只有一条路——到bytetown。 国王的大臣计算出了每个村子每年要产多少木料，你的任务是决定在哪些村子建设伐木场能获得最小的运费。其中运费的计算方法为：每一块木料每千米1分钱。 编一个程序： 1．从文件读入村子的个数，另外要建设的伐木场的数目，每年每个村子产的木料的块数以及河流的描述。 2．计算最小的运费并输出。
Input
第一行 包括两个数 n（2<=n<=100），k（1<=k<=50,且 k<=n）。n为村庄数，k为要建的伐木场的数目。除了bytetown外，每个村子依次被命名为1，2，3……n，bytetown被命名为0。 接下来n行，每行包涵3个整数 wi——每年i村子产的木料的块数 （0<=wi<=10000） vi——离i村子下游最近的村子（或bytetown）（0<=vi<=n） di——vi到i的距离(km)。（1<=di<=10000） 保证每年所有的木料流到bytetown的运费不超过2000,000,000分 50％的数据中n不超过20。
Output
输出最小花费，精确到分。
Sample Input
4 2
1 0 1
1 1 10
10 2 5
1 2 3
Sample Output
4

题解

显然是一个树形dp的问题
一开始会有一个想法：
令f[i][j]表示在第i个点，选出j个点变成伐木场的最小运费
但是似乎并不是那么好转移诶……
为什么不好转移呢？
原因可能有2种：
1.状态设计完全有问题
2.此状态无法完全表示真正所有的状态
很明显，不好转移的原因是2
因为题目还说要考虑到离i点最近的伐木场……
但是，我们可以发现题目中隐藏了一个性质：
离i点最近的伐木场始终在i的上面（深度比i小且为i的祖先）
所以只要再加一维，即为：
f[i][j][k]表示在第i个点，选出j个点作为伐木场，而且离i点最近的伐木场编号为k
那么转移就十分的方便了
枚举每一个儿子分多少伐木场
分两种情况讨论即可
注意边界条件（我被边界坑了好多次……）
两点距离的问题可以预处理
我比较喜欢多叉树转成二叉树（lc[i]表示i第一个儿子，rc[i]表示i的第一个兄弟），方便转移
总时间复杂度： O(n^3*k)

本题总结

1.对于dp题要能尽量看出来
2.要关注一些dp时的细节（边界，变量等）
3.对于一种状态难以转移的时候，可以考虑将状态变得更加完整或者重新想新的更好的状态