斐波拉契数列的三种解法

斐波那契数列: f(n)=f(n-1)+f(n-2); n>=2
f(0)=0; f(1)=1;
即有名的兔子繁衍问题。
斐波那契数列共有三种解法，因而写这篇文章总结一下。
1. 递归求解
递归求解比较简单，是大家常见的一种解法。

int fibonacci(int n){    cout<<"calculating "<<n<<endl;    if (n<=0) {        return  0;    }    if (n==1) {        return 1;    }    return fb(n-1)+fb(n-2);}

关于这种解法，不再赘述，下面主要说下时间复杂度分析。
设f(n)为参数为n时的时间复杂度，很明显：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程，并且为其次方程。
即转化为了求f(n)的值，f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;
特征方程为：x^2-x-1=0
得 x=(1±√5)/2
因而f(n)的通解为:

由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1，c_2
最终可得，时间复杂度为：

2. 第一种解法比较简单，但是多个元素重复计算，因而时间复杂度较高，为了避免重复计算，可进行循环计算减少时间复杂度

    int Fibonacci(int n) {        if (n<=0) {            return 0;        }        if (n==1) {            return 1;        }        int min=0;        int max=1;        int i=2;        int result=0;        while (i<=n) {            result=min+max;            min=max;            max=result;            ++i;        }        return result;    }

第二种算法时间复杂度为O(n)
3. 还有一种时间复杂度更低的算法。
根据上面的递归公式，我们可以得到

因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方，而计算矩阵的(n-2)次方，我们又可以进行分解，即计算矩阵(n-2)/2次方的平方，逐步分解下去，由于折半计算矩阵次方，因而时间复杂度为O(log n)
具体代码实现如下：

////  main.cpp//  fibonaccimatrix////  Created by shunagao on 15/8/31.//  Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved.//#include <iostream>using namespace std;class Matrix{public:    int n;    int **m;    Matrix(int num)    {        m=new int*[num];        for (int i=0; i<num; i++) {            m[i]=new int[num];        }        n=num;        clear();    }    void clear()    {        for (int i=0; i<n; ++i) {            for (int j=0; j<n; ++j) {                m[i][j]=0;            }        }    }    void unit()    {        clear();        for (int i=0; i<n; ++i) {            m[i][i]=1;        }    }    Matrix operator=(const Matrix mtx)    {        Matrix(mtx.n);        for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {            for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {                m[i][j]=mtx.m[i][j];            }        }        return *this;    }    Matrix operator*(const Matrix &mtx)    {        Matrix result(mtx.n);        result.clear();        for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {            for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {                for (int k=0; k<mtx.n; ++k) {                    result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j];                }               }        }        return result;    }};int main(int argc, const char * argv[]) {    unsigned int num=2;    Matrix first(num);    first.m[0][0]=1;    first.m[0][1]=1;    first.m[1][0]=1;    first.m[1][1]=0;    int t;    cin>>t;    Matrix result(num);    result.unit();    int n=t-2;    while (n) {        if (n%2) {            result=result*first;            }        first=first*first;        n=n/2;    }    cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl;    return 0;}