平衡二叉树（AVL树）

一、平衡二叉树的定义

平衡二叉树是由前苏联两位科学家G.M.Adelse-Velskil和E.M.Landis提出，因此一般也称作AVL树。AVL树仍然是一颗二叉查找树，只是在其基础上增加了“平衡”的要求。所谓平衡是指，对AVL树的任意结点来说，其左子树与右子树的高度之差的绝对值不超过1；其中左子树与右子树的高度之差称为该结点的平衡因子。

只要能随时保证每个结点平衡因子的绝对值不超过1，AVL的高度就始终能保持O(logn)级别。由于需要对每个结点都得到平衡因子，因此需要在树的结构中加入一个变量height，用来记录以当前结点为根结点的子树的高度：

struct node{int v, height;//v为结点的权值，height为当前子树高度 node *lchild, *rchild;//左右孩子结点地址 };

在这种定义下，如果需要新建一个结点，就可以采用如下写法:

/**********生成一个新结点，v为结点权值**********/node* newNode(int v){node* Node = new node;   //申请一个node型变量的地址空间 Node->v = v;         //结点权值为v Node->height = 1;      //结点高度初始为1 Node->lchild = Node->rchild = NULL;    //初始状态没有左右孩子 return Node;   //返回新建结点的地址 } 

可以通过下面的函数获取结点root所在子树的当前高度：

/******获取以root为根结点的子树的当前height*******/int getHeight(node* root){if(root == NULL){return 0;        //空结点高度为0 }return root->height;} 

于是根据定义，可以通过下面的函数计算平衡因子：

/*********计算结点root的平衡因子*********/ int getBanlanceFactor(node* root){return getHeight(root->lchild) - getHeight(root->rchild);   //左子树高度减右子树高度 }

结点root所在子树的height等于其左子树的height与右子树的height的较大值加1，因此可以通过下面的函数来更新height:

/******更新结点root的height*******/ void updateHeight(node* root){root->height = max(getHeight(root->lchild), getHeight(root->rchild)) + 1;}

二、平衡二叉树的基本操作

1、查找操作

/********search函数查找AVL树中数据域为x的结点*********/void search(node* root, int x){if(root == NULL){                 //空树，查找失败 printf("search failed\n");return;}if(x == root->data){        //查找成功，访问之 printf("%d\n", root->data); }else if(x < root->data){     //如果x比根结点的数据域小，说明x在左子树 search(root->lchild, x); //往左子树搜索x }else{                        //如果x比根结点的数据域大，说明x在右子树 search(root->rchild, x); //往右子树上搜索x }}

2、插入操作

/************左旋(Left Rotation)************/ void L(node* &root){node* temp = root->rchild;     //root指向结点A,temp指向结点B root->rchild = temp->lchild;   temp->lchild = root;         updateHeight(root);         //更新结点A的高度 updateHeight(temp);        //更新结点B的高度 root = temp;               }/***********右旋(Right Rotation)*************/ void R(node* &root){node* temp = root->lchild;    //root指向结点B,temp指向结点A root->lchild = temp->rchild;temp->rchild = root;updateHeight(root);      //更新结点B的高度 updateHeight(temp);       //更新结点A的高度 root = temp;} /**********插入权值为v的结点**********/void insert(node* &root, int v){if(root == NULL){        //到达空结点 root = newNode(v);return;}if(v < root->v){     //v比根结点的权值小 insert(root->lchild, v);   //往左子树插入updateHeight(root);       //更新树高 if(getBalanceFactor(root) == 2){if(getBalanceFactor(root->lchild) == 1){    //LL型 R(root);}else if(getBalanceFactor(root->lchild) == -1){   //LR型 L(root->lchild);R(root);}} }else{                //v比根结点的权值大 insert(root->rchild, v);     //往右子树插入 updateHeight(root);             //更新树高 if(getBalanceFactor(root) == -2){if(getBalanceFactor(root->rchild) == -1){      //RR型 L(root);}else if(getBalanceFactor(root->rchild) == 1){     //RL型 R(root->rchild);L(root);}}}}

3、AVL树的建立

/********AVL树的建立*********/node* create(int data[], int n){node* root = NULL;         //新建空根结点rootfor(int i = 0; i < n; i++){insert(root, data[i]);       //将data[0]~data[n-1]插入AVL树中 } return root;            //返回根结点 }