HDU 4126 树形DP + prim

树形DP + prim

题意：

给出一个连通的双向图，每一条边都有权值，现在有q次询问，每次都会更改一条边的cost，问q询问更改之后的平均最小生成树是多少。

• 注意更改的变的cost比原来大。
• 所有询问互不干扰

思路：

直接的做法是每次更改之后求出最小生成树，然后相加所有询问情况输出平均值就行，但是q的范围比较大而prim的算法复杂度为n2 ，所以会超时。考虑一下当更改了一条边会发生什么。

1. 改的边就是原本的最小生成树的边，那么这条边就可以先划去，然后形成两个树，只要找到两棵树的最小的距离就是新的最小生成树.(这里有一个证明：[性质](“http://www.acmerblog.com/hdu-4126-genghis-khan-the-conqueror-7129.html“) )
2. 当改的边不是原来的最小生成树的边，那么对新的生成树来说是无影响的，直接加上mst即可。

树形DP求出非生成树边的最短距离

• 定义：dp[i][j] 为i节点到j节点的最短距离（非生成树上的边）

当求出dp的时候意味着在替换边的时候直接找出新边的长度。

例如：u到v是原本最小生成树的直接相连的边，现在要求出u到v的除了这条边以外的最短距离。那么只需便利v到除了u以外的其它点的最小距离就行，用dfs进行DP，记录每一个非u点的最小距离。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>using namespace std;const int maxn = 3005;const int inf = 0x3f3f3f3f;int n,m,q;long long mst;int map[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];int dis[maxn],vis[maxn],pre[maxn];vector<int>G[maxn];void init(){    for(int i = 0;i <= n; i++) {        for(int j = 0;j <= n; j++) {            map[i][j] = dp[i][j] = inf;        }        G[i].clear();    }}void input(){    for(int i = 0;i < m; i++) {        int a,b,c;        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        map[a][b] = c;        map[b][a] = c;    }}void prim(){    for(int i = 0;i < n; i++) {        pre[i] = 0;        vis[i] = 0;        dis[i] = map[0][i];    }    dis[0] = inf;    vis[0] = 1;    pre[0] = -1;    mst = 0;    for(int i = 0;i < n-1; i++) {        int k = 0;        for(int j = 0;j < n; j++) {            if(!vis[j] && dis[k] > dis[j]) k = j;        }        vis[k] = true;        mst += dis[k];        if(pre[k] != -1) {            G[k].push_back(pre[k]);            G[pre[k]].push_back(k);        }        for(int j = 0;j < n; j++) {            if(!vis[j] && dis[j] > map[k][j]) {                dis[j] = map[k][j];                pre[j] = k;            }        }    }}int dfs(int pos,int u,int fa){    int ans = inf;    int len = G[u].size();    for(int i = 0;i < len; i++) {        int to = G[u][i];        if(to == fa) continue;        int temp = dfs(pos,to,u);        ans = min(temp,ans);        dp[u][to] = dp[to][u] = min(dp[u][to],temp);    }    if(pos != fa) ans = min(ans,map[pos][u]);    return ans;}void Find(){    for(int i = 0;i < n; i++) {        dfs(i,i,-1);    }}void query(){    scanf("%d",&q);    double ans = 0;    for(int i = 0;i < q; i++) {        int a,b,c;        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        if(pre[a] != b && pre[b] != a) ans += mst*1.0;        else ans += mst*1.0 - map[a][b] + min(dp[a][b],c);    }    printf("%.4f\n",ans/q);}int main(int argc, char const *argv[]){    // freopen("in.txt","r",stdin);    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF && n + m) {        init();        input();        prim();        Find();        query();    }    return 0;}