【BashuOJ1145】虚-组合数+求逆元

测试地址：虚
题目大意：在一个数轴上走，一开始在原点，每秒有1/4概率向左走一个单位，有1/4概率向右走一个单位，有1/2概率不动，问t秒后走到坐标p的概率，对109+7取模。
做法：这一套题，三道题我只会做第一道，好气啊！
（顺带一提，这三题题目拼音合起来是xu yi miao…你们这样都是要负责的）
这一题可以用组合数学中母函数的思想来想，不懂什么是母函数的同学可以去查。这里我们可以求t秒后走到各个位置概率的数列的母函数。首先，根据题目中的条件，可以写出1秒后走到各位置概率的母函数：14x−1+12x0+14x1，可以看到xp项的系数就是走到位置p的概率。利用母函数的特性，t秒后走到各位置概率的母函数就是(14x−1+12x0+14x1)t，也就等于122t((x0+x1)2x)t。我们把原式乘上一个xt，那么剩下的式子就可以很容易地求某一项的系数了，需要注意的是，原来我们要求xp项的系数，而乘上xt后，我们要求的系数就变成xp+t的系数了，那么我们要求的答案显然就是：Cp+t2t/22t。利用扩展欧几里得求逆元就可以求出对应的组合数求模的解了。
当然你也可以不用看上面这些废话，官方的题解是把每秒拆成两秒，每秒有1/2概率向左移动，有1/2概率向后移动，这种方式和原题中的移动方式等价，最后也可以推出答案。
以下是本人代码：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define ll long long#define mod 1000000007using namespace std;ll t,p,f[200010];void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    ll x0=1,x1=0,y0=0,y1=1;    while(b)    {        ll q,tmp;        q=a/b;        tmp=x0-q*x1,x0=x1,x1=tmp;        tmp=y0-q*y1,y0=y1,y1=tmp;        tmp=a%b,a=b,b=tmp;    }    x=x0,y=y0;}ll inv(ll x){    ll a,b;    exgcd(x,mod,a,b);    return ((a%mod)+mod)%mod;}ll C(ll n,ll m){    if (m>n||m<0) return 0;    ll ans=f[n];    ans=(ans*inv(f[m]))%mod;    ans=(ans*inv(f[n-m]))%mod;    return ans;}ll power(ll a,ll b){    ll s=1,ss=a;    while(b)    {        if (b&1) s=(s*ss)%mod;        b>>=1;ss=(ss*ss)%mod;    }    return s;}int main(){    scanf("%lld%lld",&t,&p);    f[0]=1;    for(ll i=1;i<=2*t;i++)        f[i]=(f[i-1]*i)%mod;    ll ans;    ans=C(2*t,p+t);    ans=(ans*inv(power(2,2*t)))%mod;    printf("%lld",ans);    return 0;}