hdu4059 容斥原理

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题意：求小于n的与n互素的数的四次方的和对1e9+7取模。

思路：我们还是考虑一下逆问题，求小于n的与n不互素的数的四次方和，所以还是枚举n的素因子，再用容斥原理，这里需要一个公式就是1+2^4+3^4+...+n^4，百度一下就可以得到，简单推导一下，利用了累加法，考虑了比四次方高一次的五次来求

(n+1)^5-n^5=1+5n+10n^2+10n^3+5n^4，那么：

 n^5-(n-1)^5=1+5(n-1)+10(n-1)^2+10(n-1)^3+5(n-1)^4，

...

...

      2^5-1^5=1+5*1+10*1+10+1+5+1

累加，则左边=(n+1)^5-1=n+5(n+(n-1)+...+1)+10(n^2+(n-1)^2+...+1)+10(n^3+(n-1)^3+...+1)+5(n^4+(n-1)^4+...+1)=右边

其中n^3+(n-1)^3+...+1也用类似的方法，这就可以得到n^4+(n-1)^4+...+1了

最后推得n^4+(n-1)^4+...+1=n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n^2+3*n-1)/30

还有我们要求小于n的与n互素的数的四次方的和，那么在枚举n的素因子组合的时候，如果得到一个素因子组合比如mul，那么小于n的是mul的倍数的数的四次方的和为(1+2^4+...+(n/mul)^4)*mul^4，这样就免去循环计算的麻烦

完整代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <vector>using namespace std;typedef long long LL;const int mod=1e9+7;vector<int> p;LL quickmod(LL a,LL b){    a=a%mod;    LL ans=1;    while(b)    {        if(b&1)        {            ans=ans*a%mod;        }        b>>=1;        a=a*a%mod;    }    return ans;}LL getpow(LL n)///1+2^4+3^4+4^4+...+n^4{    LL ans=((n*(n+1)%mod)*(2*n+1)%mod)*(3*((n*n)%mod)+3*n-1)%mod;    ans=ans*quickmod(30LL,mod-2);    return ans%mod;}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        LL n;        scanf("%lld",&n);        p.clear();        int temp=n;        for(int i=2;i*i<=temp;i++)        {            if(temp%i==0)            {                p.push_back(i);                while(temp%i==0)                {                    temp/=i;                }            }        }        if(temp>1) p.push_back(temp);        LL S=0;        for(int i=1;i<(1<<p.size());i++)        {            LL mul=1;            LL cnt=0;            for(int j=0;j<p.size();j++)            {                if(i&(1<<j))                {                    cnt++;                    mul=mul*p[j]%mod;                }            }            if(cnt&1)                S=(S+getpow(n/mul)*quickmod(mul,4)%mod)%mod;            else                S=(S-getpow(n/mul)*quickmod(mul,4)%mod)%mod;        }        LL ans=getpow(n);        ans=ans-S;        ans=(ans%mod+mod)%mod;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}